[论文解读] Comparison of the algebraic and the symplectic Gromov-Witten invariants

Jun Li, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 18

一句话总结

本文通过在代数几何中构造稳定映射模空间的虚拟基本类，建立了代数与辛Gromov-Witten不变量之间的比较，证明在适当条件下该虚拟基本类与辛虚拟周期一致。关键结果是当目标流形为半正定时，代数与辛不变量相等，从而统一了Gromov-Witten理论的两种主要方法。

ABSTRACT

We show that the algebraic and the symplectic GW-inivariants of smooth projective varieties are equivalent.

研究动机与目标

• 建立基于不同几何框架定义的代数与辛Gromov-Witten不变量之间的严格比较。
• 通过在期望维数与实际维数不匹配时构造虚拟基本类，解决稳定映射模空间的维数不一致问题。
• 通过证明在半正条件下其不变量一致，统一代数（通过稳定映射模空间）与辛（通过伪全纯曲线）两种Gromov-Witten理论方法。
• 通过评估映射与上推至曲线模空间的上同调框架，提供一种独立于相交条件的Gromov-Witten不变量定义方法。
• 证明代数设定下的虚拟周期与辛虚拟周期一致，从而验证代数构造作为辛构造的正确推广。

提出的方法

• 将稳定映射的模空间 $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}(X,A)$ 构造为从 $n$-点标记的亏格 $g$ 曲线到光滑射影代数簇 $X$ 且类为 $A$ 的全纯映射空间的紧化。
• 通过从 $X^n$ 和 $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}$ 拉回上同调类，并在虚拟基本类 $[\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}}$ 上积分来定义Gromov-Witten不变量。
• 利用稳定态射与形变理论定义一个虚拟周期，作为模空间非期望维数时基本类的替代。
• 应用扰动技术构造模空间上向量丛的横截截面，确保虚拟周期的定义良好且与选择无关。
• 通过在模空间的开覆盖上使用解析坐标与锥构造，采用粘贴论证法，定义一个全局分层可测流形 $Q_i$，以表示虚拟周期。
• 通过涉及丛 $\mathcal{E}$、$\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 的通用截面的扰动论证，证明代数虚拟周期 $[\mathfrak{M}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}}$ 等于辛虚拟周期，从而得出等式 $[\mathfrak{M}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}} = e[\Phi: \mathbf{B} \to \mathbf{E}]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下代数与辛Gromov-Witten不变量相等？
• RQ2 能否为代数稳定映射模空间配备一个与辛虚拟周期一致的虚拟基本类？
• RQ3 当目标流形为半正定时，代数几何中的虚拟周期构造是否与辛拓扑中的构造等价？
• RQ4 如何解决稳定映射模空间中维数不匹配的问题，以实现不变量的一致定义？
• RQ5 通过代数几何定义的虚拟周期是否与辛设定下通过伪全纯曲线构造的虚拟周期一致？

主要发现

• 在 $X$ 为半正辛流形的假设下，通过稳定映射构造的代数虚拟基本类 $[\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}}$ 与辛虚拟周期一致。
• 当 $X$ 为半正时，通过代数稳定映射模空间定义的Gromov-Witten不变量等于通过伪全纯映射定义的不变量。
• 虚拟周期的构造与选择无关，这一点由涉及切空间与形变障碍的交换图的可交换性所证明。
• 在模空间的开覆盖上构造的分层可测流形 $Q_i$ 可粘贴为一个全局虚拟周期，确保了不同坐标图之间的一致性。
• 虚拟周期可表示为丛 $\mathcal{G} = \mathcal{E} \oplus \mathcal{F}$ 的通用截面的零点集，且其与障碍丛的欧拉类一致，从而确认了不变性。
• 通过证明代数虚拟周期 $[\mathfrak{M}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}}$ 等于辛虚拟周期 $e[\Phi: \mathbf{B} \to \mathbf{E}]$，完成了比较定理的证明，从而统一了两种理论。