[论文解读] Comparison of the Categories of Motives defined by Voevodsky and Nori

Daniel Harrer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文在正则概形上构建了一个从Voevodsky的几何动机到Nori的混合动机的导出范畴的三角化张量函子，该函子与Betti实现实现相容。它建立了两种主要混合动机理论之间的比较，证明了在特定系数条件（域或Dedekind环）下的一致性，使用了有限无环图上的Nisnevich覆盖、多值态射以及复代数几何中的上同调胞腔结构。

ABSTRACT

In this thesis we compare V. Voevodsky's geometric motives to the derived category of M. Nori's abelian category of mixed motives by constructing a triangulated tensor functor between them. It will be compatible with the Betti realizations on both sides. We allow an arbitrary noetherian ring of coefficients, but require it to be a field or a Dedekind domain for the tensor structure on derived Nori motives to exist. There are three key ingredients: we present a theory of Nisnevich covers on finite acyclic diagrams of finite correspondences, explain, following D. Rydh, how to interpret finite correspondences as multivalued morphisms and elaborate on M. Nori's cohomological cell structures. For the first two, we will be working over an arbitrary regular scheme, but the last one will require that we restrict ourselves to a subfield of the complex numbers. On the way we also show that smooth commutative group schemes over a normal base automatically admit transfers, generalizing a result by M. Spiess and T. Szamuely.

研究动机与目标

• 建立Voevodsky的几何动机与Nori的混合动机导出范畴之间的比较。
• 在两个范畴之间构造一个保持Betti实现实现的三角化张量函子。
• 利用Rydh的结果，将有限对应关系的理论作为多值态射进行推广。
• 在复代数几何的背景下应用Nori的上同调胞腔结构。
• 将转移的存在性推广至正常基上的光滑交换概形族。

提出的方法

• 在正则概形上的有限无环图的有限对应关系上发展Nisnevich覆盖的理论。
• 按照D. Rydh的框架，将有限对应关系解释为多值态射。
• 利用Nori的上同调胞腔结构来分析混合动机的导出范畴。
• 在Voevodsky的动机与Nori动机的导出范畴之间构造一个三角化张量函子。
• 通过实现函子的自然变换确保与Betti实现实现的相容性。
• 限制于复数的子域以启用Nori的上同调胞腔结构的使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Voevodsky的几何动机与Nori的混合动机导出范畴进行比较？
• RQ2 在何种系数环条件下，导出Nori动机上存在张量结构？
• RQ3 在Nisnevich拓扑的背景下，能否系统地将有限对应关系解释为多值态射？
• RQ4 Nori框架中的上同调胞腔结构如何与动机的三角化结构相互作用？
• RQ5 在正常基上的光滑交换概形族是否自动具有转移结构，从而推广先前的结果？

主要发现

• 从Voevodsky的动机到Nori的混合动机导出范畴构造了一个三角化张量函子。
• 该函子在两侧均与Betti实现实现相容，确保与经典上同调的一致性。
• 当系数环为域或Dedekind环时，导出Nori动机上的张量结构存在。
• 有限对应关系被解释为多值态射，将Rydh的框架推广至无环图。
• 在正常基上的光滑交换概形族具有转移结构，推广了Spiess与Szamuely的结果。
• 在复设置下应用了Nori理论中的上同调胞腔结构，以支持比较。