[论文解读] Comparison principle for stochastic heat equation on $\mathbb{R}^d$

Le Chen, Jingyu Huang|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在谱测度 $\hat{f}$ 与参数 $\alpha \in (0,1]$ 满足特定谱条件的前提下，建立了 $\mathbb{R}^d$ 上由空间齐次高斯噪声驱动的随机热方程解的强比较原理与严格正性。结果将已知的比较原理推广至粗糙初值及白噪声以外的一般噪声结构。

ABSTRACT

We establish the strong comparison principle and strict positivity of solutions to the following nonlinear stochastic heat equation on $\mathbb{R}^d$ \[ \left(\frac{\partial }{\partial t} -\frac{1}{2}Δ ight) u(t,x) = ρ(u(t,x)) \:\dot{M}(t,x), \] for measure-valued initial data, where $\dot{M}$ is a spatially homogeneous Gaussian noise that is white in time and $ρ$ is Lipschitz continuous. These results are obtained under the condition that $\int_{\mathbb{R}^d}(1+|ξ|^2)^{α-1}\hat{f}( ext{d} ξ)0$.

研究动机与目标

• 为具有测度初值与空间齐次高斯噪声的随机热方程建立强比较原理。
• 在相同条件下证明解的严格正性，将已知结果推广至白噪声与光滑初值之外的情形。
• 推导解的 $L^p$-矩界与霍尔德正则性估计，以支持对粗糙初值条件的分析。
• 将比较原理扩展至噪声的谱测度满足 $\int_{\mathbb{R}^d}(1+|\xi|^2)^{\alpha-1}\hat{f}(d\xi) < \infty$ 的情形，其中 $\alpha \in (0,1]$，超越达朗条件。

提出的方法

• 作者通过将解与光滑核卷积实施正则化技术，以逼近解并控制噪声结构。
• 推导 $p \geq 2$ 时的精确 $L^p(\Omega)$-矩界，以控制在给定谱条件下解的增长与正则性。
• 强比较原理的证明依赖于先验矩估计，以及基于噪声结构与利普希茨非线性项 $\rho$ 的比较论证。
• 通过矩估计与科尔莫戈罗夫连续性准则，建立了解的霍尔德连续性，证明解在空间上几乎必然具有 $\alpha - \epsilon$ 阶、在时间上具有 $\alpha/2 - \epsilon$ 阶的几乎 surely 空间-时间霍尔德正则性。
• 分析基于费曼-卡茨表示与马利avin微积分技术，适配于测度初值。
• 作者利用谱测度 $\hat{f}$ 与条件 $\int_{\mathbb{R}^d}(1+|\xi|^2)^{\alpha-1}\hat{f}(d\xi) < \infty$ 控制噪声的粗糙性，并确保解的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathbb{R}^d$ 上具有测度初值的随机热方程，其强比较原理在噪声谱测度满足何种条件时成立？
• RQ2 当噪声非时空白噪声时，能否在初值粗糙的条件下建立解的严格正性？
• RQ3 在噪声的谱测度满足一般条件时，解在空间与时间上的最优霍尔德正则性为何？
• RQ4 在谱条件 $\int_{\mathbb{R}^d}(1+|\xi|^2)^{\alpha-1}\hat{f}(d\xi) < \infty$ 下，$\alpha \in (0,1]$，解的 $L^p$-矩如何变化？
• RQ5 在达朗条件（$\alpha = 0$）下，弱比较原理是否成立？此时解的正则性如何？

主要发现

• 当谱测度满足 $\int_{\mathbb{R}^d}(1+|\xi|^2)^{\alpha-1}\hat{f}(d\xi) < \infty$ 且 $\alpha \in (0,1]$ 时，对于满足利普希茨条件的 $\rho$ 与测度初值，$\mathbb{R}^d$ 上随机热方程的强比较原理成立。
• 在相同谱条件下，若初值非负且不恒为零，则对所有 $t > 0$ 与 $x \in \mathbb{R}^d$，解几乎必然严格为正。
• 在谱条件下，解 $u(t,x)$ 几乎必然在空间上具有 $\alpha - \epsilon$ 阶、在时间上具有 $\alpha/2 - \epsilon$ 阶的霍尔德连续性，对任意 $\epsilon > 0$。
• 推导出 $u(t,x)$ 的 $L^p(\Omega)$-矩的实用上界，对所有 $p \geq 2$ 成立，这对证明正则性与比较结果至关重要。
• 在达朗条件（$\alpha = 0$）下，弱比较原理成立，且对非负初值，解几乎必然非负。
• 在谱条件下，对于满足 $\int_{\mathbb{R}^d}e^{-a|x|^2}|\mu|(dx) < \infty$ 对所有 $a > 0$ 的粗糙初值，解是良定义的且在 $L^2(\Omega)$ 中连续。