[论文解读] Comparison Theorems of Infinite Horizon Forward-Backward Stochastic Differential Equations

Liangquan Zhang, Yufeng Shi|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文使用概率方法和对偶技术，建立了无限时域正向-反向随机微分方程（FBSDEs）的比较定理。在单调性和可积性条件下，证明了当系数和初始/终端条件满足适当不等式时，一个FBSDE的解分量会支配另一个FBSDE的解分量，将先前有限时域的结果推广至无限时域设置，并适用于多维正向和反向分量。

ABSTRACT

By the methods of probability and duality technique, we give some comparison theorems for the solutions of infinite horizon forward-backwad stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 建立无限时域完全耦合正向-反向随机微分方程（FBSDEs）的比较定理，将有限时域结果推广至无界时间域。
• 通过引入一个新的技术条件（H4），填补现有非马尔可夫性、多维FBSDEs比较结果的空白，以确保在无限时间域上的有效性。
• 将一维反向SDE的比较结果推广至多维情形，增强其在随机控制和数学金融中的适用性。
• 为通过概率方法分析随机最优控制、微分博弈和PDEs中解的理论提供严格的理论基础。
• 统一并推广先前Wu（2007）、Peng & Shi（2003）和Wu & Xu（2011）的结果至无限时域设置，涵盖维度和系数结构的完全一般性。

提出的方法

• 使用对偶技术将原始FBSDE转化为一个对偶反向随机微分方程（BSDE），通过对偶过程实现对解分量的比较。
• 对差值过程与对偶过程的乘积应用伊腾公式，推导出反向分量初始值的显式表示。
• 在系数上施加一组标准假设（H1）–（H4），包括单调性、利普希茨连续性和可积性，以确保在空间 $\mathcal{B}^3 = \mathcal{S}^2 \times \mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}^2$ 中解的存在性与唯一性。
• 引入一个新颖的技术条件（H4），以克服早期比较定理在多维系统中、特别是扩散系数非退化情况下的局限性。
• 采用基于随机过程及其二次变差比较的概率方法，避免依赖偏微分方程方法。
• 根据系数和终端条件的结构，推导出关于初始值 $Y_0$ 和路径上 $Y_t$ 在 $t \in [0, \infty)$ 上的支配性比较结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个无限时域FBSDE的反向分量 $Y_t$ 对所有 $t \geq 0$ 支配另一个FBSDE的反向分量？
• RQ2 能否在不假设马尔可夫性或非随机系数的前提下，为多维FBSDEs（$n > 1$，$m > 1$）建立比较定理？
• RQ3 当两个FBSDE的正向和反向系数均不同时，如何将初始值 $Y_0$ 的比较结果进行推广？
• RQ4 在解在无穷远处不衰减的情况下，为确保比较定理在无限时域设置下的有效性，需要哪些技术条件？
• RQ5 能否通过使用对偶和概率方法，将一维反向SDE的比较结果推广至多维情形？

主要发现

• 若系数满足 $b^1 \geq b^2$，$f^1 \geq f^2$，$\Phi^1 \geq \Phi^2$，且 $\sigma^1 = \sigma^2$，则在假设（H1）–（H4）下，即使 $n > 1$ 且 $m = 1$，也有 $Y_0^1 \geq Y_0^2$ 成立。
• 对于 $n = m = 1$ 的情形，本文证明了在单调性和可积性条件下，对所有 $t \geq 0$ 有 $Y_t^1 \geq Y_t^2$，将早期结果推广至无限时间域。
• 当系数和初始/终端条件满足适当不等式时，FBSDE的解分量 $Y_t$ 是路径上非递减的，确保随机支配性。
• 对偶技术成功地将比较问题转化为对偶BSDE，使得能够利用伊腾公式推导出 $\hat{Y}_0$ 的显式表达式，且在给定条件下证明其非负性。
• 即使正向分量 $X^1$ 和 $X^2$ 不同，只要系数差异受控且满足技术条件（H4），仍可证明 $Y_0^1 \geq Y_0^2$。
• 本研究通过推广Wu（2007）、Peng & Shi（2003）和Wu & Xu（2011）的有限时域比较定理，将它们推广至无限时域情形，涵盖维度和系数结构的完全一般性。