[论文解读] Compatible 4-Holes in Point Sets

Ahmad Biniaz, Anil Maheshwari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出在平面中任意一般位置的n点集中，两两相容的4边形孔洞数量的下限为⌊5n/11⌋−1。通过基于凸包和动态凸包数据结构的递归划分策略，作者将先前的下限2⌊(n−2)/5⌋得到改进，建立了点集中两两相容的空凸四边形最大数量的更紧致的理论界限。

ABSTRACT

Counting interior-disjoint empty convex polygons in a point set is a typical Erdős-Szekeres-type problem. We study this problem for 4-gons. Let $P$ be a set of $n$ points in the plane and in general position. A subset $Q$ of $P$, with four points, is called a $4$-hole in $P$ if $Q$ is in convex position and its convex hull does not contain any point of $P$ in its interior. Two 4-holes in $P$ are compatible if their interiors are disjoint. We show that $P$ contains at least $\lfloor 5n/11 floor {-} 1$ pairwise compatible 4-holes. This improves the lower bound of $2\lfloor(n-2)/5 floor$ which is implied by a result of Sakai and Urrutia (2007).

研究动机与目标

• 建立点集在一般位置下两两相容4边形孔洞数量的更强下限。
• 改进Sakai和Urrutia（2007）所暗示的2⌊(n−2)/5⌋的现有下限，适用于相容的4边形孔洞。
• 开发一种构造性方法，确保在任意n点集中至少存在⌊5n/11⌋−1个相容的4边形孔洞。
• 提供一种多项式时间算法，利用动态凸包数据结构计算此类相容4边形孔洞集合。

提出的方法

• 通过穿过两个凸包点的直线将点集划分为两个子集A和B，确保A至少包含11个点，B至少包含n−11个点。
• 应用递归构造：利用小规模点集（如9点和11点集）的已知结果，在大小为11的子集中保证存在3个和4个相容的4边形孔洞。
• 利用动态凸包数据结构，高效计算所需的划分，并在O(n log²n)时间内识别候选4边形孔洞。
• 通过空圆区域和旋转直线的攻击点等几何准则，识别与现有子集相容的有效4边形孔洞。
• 应用数学归纳法：假设该下限对较小的点集成立，通过将划分中一个4边形孔洞与A和B中相容的4边形孔洞组合，将其推广至更大的n。
• 通过几何情形分析，验证所选4边形孔洞凸包的内部两两不相交，以确保相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意一般位置的n点集中，能保证的两两相容4边形孔洞的最大数量是多少？
• RQ2 能否改进Sakai和Urrutia（2007）所暗示的2⌊(n−2)/5⌋的相容4边形孔洞下限？
• RQ3 是否存在一种构造性方法，可在O(n log²n)时间内计算出一组较大的相容4边形孔洞？
• RQ4 如何利用几何划分和凸包性质来确保4边形孔洞的相容性？
• RQ5 作为n的函数，相容4边形孔洞数量的最紧致下限是什么？

主要发现

• 本文建立了任意一般位置的n点集中，两两相容4边形孔洞数量的新下限⌊5n/11⌋−1。
• 该下限优于Sakai和Urrutia（2007）所暗示的先前下限2⌊(n−2)/5⌋，显著收紧了理论界限。
• 当n = 14时，该方法可保证至少存在5个相容的4边形孔洞，超过此前的下限4个。
• 该构造是算法化的，可生成一个O(n log²n)时间复杂度的算法，用于计算至少⌊5n/11⌋−1个相容的4边形孔洞。
• 证明依赖于基于凸包的递归划分策略和几何情形分析，以确保相容性。
• 该结果对所有n ≥ 11成立，小规模n（至14）的基例已验证，并通过归纳法推广。