[论文解读] Compatible finite element methods for numerical weather prediction

Colin J. Cotter, Andrew T. T. McRae|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于有限元外微分形式的相容有限元方法，用于数值天气预报，实现了在非结构化球形网格上对旋转浅水方程的稳定、守恒且精确的离散化。关键贡献在于提出了一种可证明稳定的能量与涡度守恒格式，具有精确的地转模态和二阶收敛率，该方法在二十面体网格上的Williamson测试案例中得到验证。

ABSTRACT

This article takes the form of a tutorial on the use of a particular class of mixed finite element methods, which can be thought of as the finite element extension of the C-grid staggered finite difference method. The class is often referred to as compatible finite elements, mimetic finite elements, discrete differential forms or finite element exterior calculus. We provide an elementary introduction in the case of the one-dimensional wave equation, before summarising recent results in applications to the rotating shallow water equations on the sphere, before taking an outlook towards applications in three-dimensional compressible dynamical cores.

研究动机与目标

• 开发一种用于数值天气预报的稳定、守恒有限元方法，采用相容有限元方法。
• 通过确保速度与压力自由度之间的适当平衡，解决有限元离散化中的虚假模态分支问题。
• 利用有限元外微分形式，将C网格有限差分的仿射性质扩展至非结构化、非正交网格。
• 在球面上实现浅水方程的能量与涡度守恒格式。
• 为使用相容有限元空间构建三维可压缩动力核心奠定基础。

提出的方法

• 采用相容有限元空间（例如BDFM1-DG1、RTk-DG1），保持向量微积分的微分结构，确保旋度与散度恒等式的离散类比。
• 采用混合有限元格式，速度法向分量连续，压力不连续，以确保稳定性与一致性。
• 应用变分形式推导弱解，通过分部积分和位涡的精确投影，强制实现守恒律。
• 采用半隐式时间离散化，结合牛顿迭代处理非线性项，确保稳定性和精度。
• 使用带自适应加密的二十面体球形网格，测试收敛性与解的质量。
• 修改位涡输运项，使网格尺度涡度耗散，同时保持能量守恒，避免网格尺度振荡。

实验结果

研究问题

• RQ1 相容有限元方法能否在非结构化球形网格上为浅水方程提供稳定、守恒且精确的解？
• RQ2 速度与压力之间全局自由度比如何影响虚假惯性重力波或罗斯比波模态的出现？
• RQ3 能否利用相容有限元构造出类似于C网格有限差分方法的能量与涡度守恒格式？
• RQ4 当应用于Williamson测试案例5等基准测试案例时，相容有限元方法的收敛率与精度如何？
• RQ5 该框架如何扩展至三维可压缩流，采用适当的有限元空间表示速度、密度与位温？

主要发现

• BDFM1-DG1有限元对在细化的二十面体网格上，威廉姆森测试案例5的水位场实现了二阶收敛，收敛图证实了该结果。
• 由于速度与压力之间全局自由度比为2:1，该方法能精确保持地转模态，这对数值天气预报至关重要。
• 通过引入网格尺度涡度耗散的能量与涡度守恒格式，成功避免了涡旋合并模拟中的网格尺度振荡。
• 位涡守恒定律被一致地投影到离散变分格式中，确保离散系统尊重底层物理规律。
• 第15天的速度场与水位场显示出在山脉上合理的演变，无非物理解振荡，位涡场在50天内保持良好解析。
• 该框架可扩展至三维，提出了一个四空间结构（V0至V3），保持微分算子性质，实现稳定、守恒的离散化。