[论文解读] Competing first passage percolation on random regular graphs

Tonći Antunović, Yael Dekel+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2011

Complex Network Analysis Techniques参考文献 24被引用 11

一句话总结

本文研究随机正则图上的竞争性首次通过渗滤，建模两种产品或病毒在社交网络中以不同初始规模、传播速率或起始时间传播。结果表明，在典型情况下，某一过程主导网络，占据Θ(1)N^α个顶点，其中0 < α < 1，α取决于相对速率、初始规模和时间优势——这与在d维网格上出现的线性市场份额分割形成对比。

ABSTRACT

We consider two competing first passage percolation processes started from uniformly chosen subsets of a random regular graph on $N$ vertices. The processes are allowed to spread with different rates, start from vertex subsets of different sizes or at different times. We obtain tight results regarding the sizes of the vertex sets occupied by each process, showing that in the generic situation one process will occupy $Θ(1)N^α$ vertices, for some $0 &lt; α&lt; 1$. The value of $α$ is calculated in terms of the relative rates of the processes, as well as the sizes of the initial vertex sets and the possible time advantage of one process. The motivation for this work comes from the study of viral marketing on social networks. The described processes can be viewed as two competing products spreading through a social network (random regular graph). Considering the processes which grow at different rates (corresponding to different attraction levels of the two products) or starting at different times (the first to market advantage) allows to model aspects of real competition. The results obtained can be interpreted as one of the two products taking the lion share of the market. We compare these results to the same process run on $d$ dimensional grids where we show that in the generic situation the two products will have a linear fraction of the market each.

研究动机与目标

• 分析随机正则图上竞争性传播过程的渐近规模，以建模社交网络中的现实竞争。
• 量化初始规模差异、传播速率差异以及时间优势对病毒式营销或流行病传播中市场份额的影响。
• 比较随机正则图（代表现代社交网络）与d维环面图（代表空间或传统网络）上的结果。
• 确立在随机正则图上，通常一个过程会占据网络的次线性但非平凡的分数，这与空间网格上观察到的线性分割形成对比。
• 在概率框架中，利用耦合方法和亚模性论证，严格刻画主导性的相变行为。

提出的方法

• 将过程建模为连续时间马尔可夫过程，其中每个未着色顶点以与已有着色邻居数量成比例的速率选择蓝色或红色，分别对应不同的速率β和ρ。
• 使用耦合技术比较竞争过程的增长，尤其在不同初始条件和时间偏移下。
• 应用亚模性论证以限制过程的增长，并分析初始种子集的影响。
• 借鉴d维格点上首次通过渗滤的结果（如Cox-Durrett定理），推导环面图上的极限行为，并与随机正则图进行比较。
• 利用几何概率与度量缩放（通过定理6.1），证明在大随机正则图上，最终集合在连续极限下收敛到类似Voronoi的划分。
• 分析基于边选择概率与活跃颜色速率成比例的离散时间过程，采用跳跃规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 当竞争过程以不同初始规模、速率或起始时间启动时，在随机正则图上每个过程占据多少比例的顶点？
• RQ2 网络结构（随机正则图与d维网格）如何影响竞争性传播过程的结果？
• RQ3 时间优势或更大的初始种子规模对竞争扩散过程中最终市场份额有何影响？
• RQ4 在渐近顶点数方面，何种条件下一个过程会主导另一个过程？
• RQ5 竞争性首次通过渗滤在随机正则图上的极限行为能否通过类似格点上形状定理的连续几何极限来刻画？

主要发现

• 在随机正则图的典型情况下，一个过程占据Θ(1)N^α个顶点，其中0 < α < 1，具体取决于相对速率、初始规模和时间优势。
• 指数α可显式表示为传播速率比、初始集合大小和时间偏移的函数，表明存在非线性、次线性的主导现象。
• 与d维网格上两个过程通常各占据线性分数（Θ(N)）的网络不同，随机正则图表现出对某一过程的显著偏倚。
• 在大随机正则图上，极限行为收敛到连续度量空间中的Voronoi划分，其中区域由相对速率和初始位置决定。
• 以高概率，速率更高、初始集合更大或起始时间更早的过程主导网络，且这种主导性由指数α定量刻画。
• 耦合方法与亚模性论证使得对增长动态实现紧密控制，从而实现对最终集合规模的精确渐近分析。