[论文解读] Competing risks within shock models

Antonio Di Crescenzo, Maria Longobardi|ArXiv.org|Sep 1, 2008

Probability and Risk Models参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文在二元泊松冲击模型中引入了竞争风险框架，分析因两种互斥冲击类型之一导致的系统失效。研究推导了在三种方案下（冲击总和、最小值或最大值达到随机阈值 M）的精确失效密度、生存函数及条件失效矩表达式，关键结果表明在总和方案中失效时间与失效原因呈统计独立性，且推导出涉及修正贝塞尔函数与累积泊松分布的显式公式。

ABSTRACT

We consider a competing risks model, in which system failures are due to one out of two mutually exclusive causes, formulated within the framework of shock models driven by bivariate Poisson process. We obtain the failure densities and the survival functions as well as other related quantities under three different schemes. Namely, system failures are assumed to occur at the first instant in which a random constant threshold is reached by (a) the sum of received shocks, (b) the minimum of shocks, (c) the maximum of shocks.

研究动机与目标

• 通过建模因两种互斥冲击类型之一导致的系统失效，将竞争风险整合到冲击模型中。
• 分析三种不同阈值方案（冲击计数总和、最小值或最大值）下的失效机制。
• 推导在已知失效原因条件下，失效密度、生存函数及条件失效矩的精确表达式。
• 探讨失效时间与失效原因之间的随机依赖性，特别在总和方案中证明二者为独立。
• 通过使用包含共享成分的二元泊松过程，将模型扩展至非互斥冲击类型。

提出的方法

• 通过两个独立的齐次泊松过程 $N_1(t)$ 和 $N_2(t)$ 建模冲击，其强度分别为 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$。
• 基于冲击计数的总和、最小值或最大值达到随机阈值 $M$（取值于 $\{1,2,\dots\}$）定义失效集合 $S_k$。
• 利用风险率分解与递推表达式，推导出因每类冲击导致失效的子密度 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$。
• 采用辅助函数 $E_k(x) = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{x^j}{j!}$ 与修正贝塞尔函数 $I_j(\cdot)$ 表达生存函数与密度函数。
• 通过在失效集合上求和并利用阈值 $M$ 的互补累积分布 $\overline{P}_k$，推导生存函数 $\overline{F}_T(t)$。
• 通过使用包含三个分量 $\lambda_1$、$\lambda_2$ 和 $\lambda_3$ 的二元泊松过程，将模型扩展至非互斥冲击。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有竞争风险的冲击模型中，失效时间 $T$ 与失效原因 $\delta$ 在何种条件下呈现统计独立性？
• RQ2 当失效由冲击总和达到随机阈值 $M$ 触发时，失效密度与生存函数的行为如何？
• RQ3 当失效发生在两个冲击计数的最小值或最大值时，失效子密度与生存函数的精确数学表达式是什么？
• RQ4 在二元泊松框架下，当阈值基于冲击计数的总和、最小值或最大值时，失效机制有何不同？
• RQ5 该模型能否扩展至允许非互斥冲击类型？在此情况下，失效集合与风险结构将如何变化？

主要发现

• 在总和方案中，失效时间 $T$ 与失效原因 $\delta$ 呈统计独立性，该非平凡结果源于风险率与子密度的结构特征。
• 总和方案的生存函数为 $\overline{F}_T(t) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=0}^{\infty} \overline{P}_k \left( \frac{(\lambda_1 t)^k}{k!} + \frac{(\lambda_2 t)^k}{k!} \right)$，表明其为泊松型项的直接求和。
• 在最小值方案中，失效子密度为 $f_1(t) = \lambda_1 e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=1}^{\infty} p_k \frac{(\lambda_1 t)^{k-1}}{(k-1)!} E_k(\lambda_2 t)$，其中涉及累积泊松函数 $E_k(x)$。
• 在最大值方案中，生存函数为 $\overline{F}_T(t) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=0}^{\infty} \overline{P}_k \left( \frac{(\lambda_2 t)^k}{k!} E_k(\lambda_1 t) + \frac{(\lambda_1 t)^k}{k!} E_{k+1}(\lambda_2 t) \right)$，其中 $E_k(x)$ 如前所定义。
• 在最小值与最大值方案中，子密度之和简化为 $\lambda_i e^{-\lambda_i t} \sum_{k=1}^{\infty} p_k \frac{(\lambda_i t)^{k-1}}{(k-1)!}$，凸显其结构相似性。
• 针对具有 $h$ 种冲击类型的总和方案，提供了生存函数的近似表达式，将二元情形推广至高维情形。