[论文解读] Competitive Equilibria in Matching Markets with Budgets

Ning Chen, Xiaotie Deng+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2010

Auction Theory and Applications参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出了一种强多项式时间算法，用于确定在不可分割物品、单位需求买家及预算约束下的匹配市场中是否存在竞争性均衡，并计算最小竞争性均衡。研究证明，在这些约束条件下，竞争性均衡恰好对应于强稳定匹配，从而解决了由预算引入的根本性不连续性所导致的标准稳定性概念失效的问题。

ABSTRACT

We study competitive equilibria in the classic Shapley-Shubik assignment model with indivisible goods and unit-demand buyers, with budget constraints: buyers can specify a maximum price they are willing to pay for each item, beyond which they cannot afford the item. This single discontinuity introduced by the budget constraint fundamentally changes the properties of equilibria: in the assignment model without budget constraints, a competitive equilibrium always exists, and corresponds exactly to a stable matching. With budgets, a competitive equilibrium need not always exist. In addition, there are now two distinct notions of stability, depending on whether both or only one of the buyer and seller can strictly benefit in a blocking pair, that no longer coincide due to the budget-induced discontinuity. We define weak and strong stability for the assignment model with transferable utilities, and show that competitive equilibria correspond exactly to strongly stable matchings. We consider the algorithmic question of efficiently computing competitive equilibria in an extension of the assignment model with budgets, where each buyer specifies his preferences over items using utility functions $u_{ij}$, where $u_{ij}(p_j)$ is the utility of buyer $i$ for item $j$ when its price is $p_j$. Our main result is a strongly polynomial time algorithm that decides whether or not a competitive equilibrium exists and if yes, computes a minimum one, for a general class of utility functions $u_{ij}$. This class of utility functions includes the standard quasi-linear utility model with a budget constraint, and in addition, allows modeling marketplaces where, for example, buyers only have a preference ranking amongst items subject to a maximum payment limit for each item, or where buyers want to optimize return on investment (ROI) instead of a quasi-linear utility and only know items' relative values.

研究动机与目标

• 解决当买家面临预算约束时，Shapley-Shubik分配模型中竞争性均衡的存在性与表征问题。
• 解决由于预算引起的不连续性导致的竞争性均衡与稳定匹配之间等价性的失效问题。
• 为在一般效用函数与预算约束下计算竞争性均衡开发高效算法。
• 表征在最小均衡机制中，真实出价为何构成纳什均衡的条件。
• 将竞争性均衡计算的理论基础从拟线性效用模型扩展至更广泛的情境。

提出的方法

• 该算法基于偏好和预算约束构建有向图 H，以建模可行的分配与价格调整。
• 通过一系列价格下调与匹配检查操作，识别出最小竞争性均衡，利用强多项式时间过程。
• 该方法依赖于一个关键引理，表明任何竞争性均衡都必须能在所构造的图 H 中表示。
• 采用类似二分查找的方法，在价格区间内搜索支持可行匹配的最小均衡价格。
• 该算法被证明可在强多项式时间内终止，其时间复杂度不依赖于输入规模的对数项。
• 通过对称的价格上调过程，该方法可被调整以计算最大均衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 当买家面临预算约束时，Shapley-Shubik分配模型中是否存在竞争性均衡？
• RQ2 预算约束如何改变竞争性均衡与稳定匹配之间的关系？
• RQ3 在存在一般效用函数与预算约束的情况下，能否高效计算竞争性均衡？
• RQ4 在预算约束下，强稳定与竞争性均衡之间存在何种关系？
• RQ5 在计算最小竞争性均衡的机制中，真实出价是否构成纳什均衡？

主要发现

• 在存在预算约束的分配模型中，竞争性均衡并不总是存在，这与经典模型不同。
• 由于预算引入的不连续性，竞争性均衡恰好对应于强稳定匹配，而非弱稳定匹配。
• 若存在竞争性均衡，所提出的算法可在强多项式时间内计算出最小竞争性均衡。
• 该算法正确且其运行时间受买家与物品数量的多项式有界，与预算或价值的大小无关。
• 若在真实效用下存在竞争性均衡，则真实出价在最小均衡机制中构成纳什均衡。
• 该机制并非主导策略真实出价，因为真实出价的最优性依赖于均衡的存在性，而均衡的存在性具有战略性和相互依赖性。