[论文解读] Compiling basic linear algebra subroutines for quantum computers

Liming Zhao, Zhikuan Zhao+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文提出了量子矩阵代数工具箱（QMAT），一种将基础线性代数子程序——如矩阵加法、乘法、张量积以及矩阵函数——编译为量子门序列的框架。它通过相位估计算法与采样方法，实现了对迹、行列式及施瓦茨 p-范数等标量输出的高效估计，在奇异值有界条件下，误差界与矩阵规模无关。

ABSTRACT

Efficiently processing basic linear algebra subroutines is of great importance for a wide range of computational problems. In this paper, we consider techniques to implement matrix functions on a quantum computer, which are composed of basic matrix operations on a set of matrices. These matrix operations include addition, multiplication, Kronecker sum, tensor product, Hadamard product, and single-matrix functions. We discuss the composed matrix functions in terms of the estimation of scalar quantities such as inner products, trace, determinant and Schatten p-norms. We thus provide a framework for compiling instructions for linear algebraic computations into gate sequences on actual quantum computers.

研究动机与目标

• 开发一种可组合的、面向量子计算机的基础矩阵运算量子编译框架。
• 实现在无需完整态重建的前提下，对迹、行列式及施瓦茨 p-范数等标量矩阵函数进行高效估计。
• 提供从高层矩阵函数规格到可执行量子门序列的编译流水线，利用嵌入的厄米矩阵实现。
• 确保在奇异值有界条件下，标量估计的误差界与矩阵维度 N 无关。
• 通过利用矩阵嵌入的酉访问，支持 BQP-完全计算。

提出的方法

• 基于 3×3 幂等矩阵 R₁、R₂、R₃，使用三种不同的嵌入算子 X₁(A)、X₂(A) 和 X₃(A)，将非厄米矩阵嵌入为厄米形式。
• 对嵌入后的厄米矩阵应用哈密顿量模拟技术，实现加法、乘法、克罗内克和、张量积及哈达玛积等基本矩阵运算。
• 对嵌入矩阵的本征值应用相位估计算法，以估计迹、行列式及施瓦茨 p-范数等标量量。
• 使用 T 次重复的蒙特卡洛采样来估计施瓦茨范数的 p 次幂，通过切比雪夫不等式控制误差。
• 利用利普希茨连续性和詹森不等式建立误差界，表明相对误差仅依赖于 ε 和 σ 估计误差 εσ，而不依赖于矩阵维度 N。
• 推导出样本复杂度 T ≈ C(1 + εσ²)/(ε²a)，其中置信水平 a = 0.01 时对应 99% 置信度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将复矩阵上的基础线性代数运算编译为实际量子硬件可用的量子门序列？
• RQ2 利用量子相位估计算法与采样方法，对迹、行列式及施瓦茨 p-范数等标量矩阵函数进行估计时，可达到的误差界是什么？
• RQ3 在奇异值的合理假设下，能否使这些标量量估计的误差与矩阵维度 N 无关？
• RQ4 在相位估计算法中，样本复杂度如何随期望精度和误差容限变化？
• RQ5 矩阵嵌入在实现线性代数任务的通用量子计算中起到什么作用？

主要发现

• 当奇异值为 Θ(1) 时，该框架对施瓦茨 p-范数的估计相对误差被限制在 |ε|^(1/p) + κ_p |εσ|^(1/p) 以内，且与矩阵维度 N 无关。
• 所需样本数 T 的标度为 O((1 + εσ²)/(ε²a))，其中置信水平 a 给定，a = 0.01 时可保证 99% 置信度。
• 迹估计误差被限制在 |Tr(A)|(1 ± ε ± ελ) 范围内，样本复杂度 T ≈ C(1 + ελ²)/(ε²a)，由施瓦茨范数估计的 p=1 情况导出。
• 行列式估计误差被限制在 Ke |Tr(log(A))| (ε_log(λ) + ε) 范围内，其中 Ke 为指数函数的利普希茨常数，当 ||A|| ≤ 1 时 Ke = 1。
• 只要奇异值远离零和无穷大，施瓦茨范数估计的相对误差不会随矩阵大小 N 增大而增长。
• 该方法支持 BQP-完全计算，因为它可通过嵌入矩阵的酉访问编码任意量子线路。