[论文解读] Compiling Quantum Circuits using the Palindrome Transform

Alfred V. Aho, Krysta M. Svore|ArXiv.org|Nov 3, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 20

一句话总结

本文提出了回文优化算法（POA）和回文变换，以最小化量子线路中（n−1）-控制-非门的数量。通过使用递归回文结构重新排序两级分解，该方法显著减少了线路规模——与传统分解方法相比，7量子比特线路的线路规模减少了60%。

ABSTRACT

The design and optimization of quantum circuits is central to quantum computation. This paper presents new algorithms for compiling arbitrary 2^n x 2^n unitary matrices into efficient circuits of (n-1)-controlled single-qubit and (n-1)-controlled-NOT gates. We first present a general algebraic optimization technique, which we call the Palindrome Transform, that can be used to minimize the number of self-inverting gates in quantum circuits consisting of concatenations of palindromic subcircuits. For a fixed column ordering of two-level decomposition, we then give an numerative algorithm for minimal (n-1)-controlled-NOT circuit construction, which we call the Palindromic Optimization Algorithm. Our work dramatically reduces the number of gates generated by the conventional two-level decomposition method for constructing quantum circuits of (n-1)-controlled single-qubit and (n-1)-controlled-NOT gates.

研究动机与目标

• 解决传统两级分解在生成任意酉矩阵时产生过多（n−1）-控制-非门的低效问题。
• 开发一种与技术无关的编译框架，以最小化可扩展量子计算中量子线路的门数。
• 表征两级分解中可最小化自逆和冗余控制-非门数量的列排序方式。
• 提出一种枚举算法，通过递归回文子结构系统地生成最小门数的线路。
• 为高效量子线路编译提供基础，以在早期编译阶段减少资源开销。

提出的方法

• 引入回文变换，一种代数技术，用于最小化由回文子线路组成的电路中的自逆门数量。
• 提出回文优化算法（POA），一种枚举方法，通过重新排序两级分解以最小化（n−1）-控制-非门数量。
• 使用数组结构（array_n）的递归列分解来建模门的生成，其中每列的门数由递推关系定义。
• 应用递归公式：偶数列为 Tⁿᶜ = 2Tⁿ⁻¹ᶜ + 3，奇数列为 Tⁿᶜ = 2Tⁿ⁻¹ᶜ + 2，终端列设有基础情况。
• 推导出总门数公式：poaₙ = (7/3)(2²ⁿ⁻¹) − 7(2ⁿ⁻¹) + 10/3，反映优化后的线路规模。
• 利用列间自逆门的抵消效应，进一步减少线路规模，超越初始分解的优化效果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两级分解中，何种列排序可最小化任意酉矩阵的（n−1）-控制-非门数量？
• RQ2 如何利用量子线路中的回文子结构，通过代数优化减少门数？
• RQ3 与传统方法相比，递归对称分解模式在多大程度上可减小量子线路规模？
• RQ4 分解一个2ⁿ×2ⁿ酉矩阵所需的（n−1）-控制-非门的理论最小数量是多少？
• RQ5 枚举算法能否系统性地生成门数少于标准分解技术的线路？

主要发现

• 对于n=7量子比特，回文优化算法将（n−1）-控制-非门数量从传统方法的49,090减少至18,670，实现了62.3%的减少。
• POA在n=3时生成的线路仅含50个门，而传统排序方法为62个，门数减少了19.4%。
• 优化后线路的总门数由公式 poaₙ = (7/3)(2²ⁿ⁻¹) − 7(2ⁿ⁻¹) + 10/3 给出，该公式建模了可达到的最小线路规模。
• 通过列间自逆门的抵消，该方法消除了冗余门，额外节省了2(2ⁿ⁻¹−1)个门。
• 即使在不进行自逆门抵消的情况下，该算法仍优于传统分解方法，表明列排序本身即为强大的优化手段。
• 该框架提供了一种可扩展的递归方法，可为任意酉矩阵生成最小门数的量子线路，且门数的减少被证明为指数级。