[论文解读] Complement-Free Couples Must Communicate: A Hardness Result for Two-Player Combinatorial Auctions

Tomer Ezra, Michal Feldman+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2018

Auction Theory and Applications参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文证明，在具有两个次可加投标人（subadditive bidders）的组合拍卖中，实现优于1/2的近似比需要指数级通信量，从而证明了平凡协议（例如随机分配或对全集进行的第二价格拍卖）在超过1/2的非平凡近似范围内是最优的。关键结果解决了长期开放的问题，表明任何保证(1/2 + 6/log₂m)-近似比的协议都必须在物品数量m上使用指数级通信量。

ABSTRACT

We study the communication complexity of welfare maximization in combinatorial auctions with $m$ items and two subadditive bidders. A $\frac{1}{2}$-approximation can be guaranteed by a trivial randomized protocol with zero communication, or a trivial deterministic protocol with $O(1)$ communication. We show that outperforming these trivial protocols requires exponential communication, settling an open question of [DobzinskiNS10, Feige09]. Specifically, we show that any (randomized) protocol guaranteeing a $(\frac{1}{2}+\frac{6}{\log_2 m})$-approximation requires communication exponential in $m$. This is tight even up to lower-order terms: we further present a $(\frac{1}{2}+\frac{1}{O(\log m)})$-approximation in poly($m$) communication. To derive our results, we introduce a new class of subadditive functions that are "far from" fractionally subadditive functions, and may be of independent interest for future works. Beyond our main result, we consider the spectrum of valuations between fractionally-subadditive and subadditive via the MPH hierarchy. Finally, we discuss the implications of our results towards combinatorial auctions with strategic bidders.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：在两人次可加组合拍卖中，是否能通过次指数级通信实现超过1/2的非平凡近似比。
• 为n=2时在次可加估值下的福利最大化问题建立紧致的通信复杂度下界。
• 引入一类与分数次可加性相距甚远的次可加函数，可能对未来研究具有潜在价值。
• 探讨这些结果对组合拍卖中 truthful 与 non-truthful 通信高效机制的影响。

提出的方法

• 作者使用概率方法构造一个困难实例，以证明存在与分数次可加性相距甚远的次可加估值函数。
• 他们定义了一个ℓ-独立集合族，以确保某些覆盖性质以正概率成立，从而支持困难估值对的构造。
• 一个关键技术组件是证明所导出的函数fℓS(⋅)是次可加的，该证明基于σS(⋅)的次可加性及补函数的性质，通过反证法完成。
• 通过在所有ℓ大小的子集和二进制向量上使用并集界，证明了以正概率存在ℓ-独立族。
• 该构造被用于证明：任何实现(1/2 + 6/log₂m)-近似比的协议都必须在m上使用指数级通信量。
• 本文进一步提出一个通信量为poly(m)的协议，可实现(1/2 + 1/O(log m))-近似比，表明下界在低阶项范围内是紧致的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在通信量为次指数级的前提下，为两人次可加组合拍卖实现(1/2 + ε)-近似比？
• RQ2 在此设定下，超越1/2-近似比的通信复杂度阈值究竟是多少？
• RQ3 是否存在与分数次可加函数显著不同的次可加估值函数？它们能否被用于构造困难实例？
• RQ4 在两人情况下，truthful 机制的通信复杂度与 non-truthful 机制相比如何？
• RQ5 在通信复杂度方面，次可加估值与 MPH 层次结构之间存在何种关系？

主要发现

• 任何(随机化)协议若能为两个次可加投标人保证(1/2 + 6/log₂m)-近似比，则必须在m上使用指数级通信量。
• 1/2-近似比可仅通过零通信或O(1)通信量实现，且在次指数级通信量下无法实现更优的近似比。
• 存在一个匹配的上界：可在poly(m)通信量内实现(1/2 + 1/O(log m))-近似比。
• 本文引入了一类与分数次可加性相距甚远的次可加函数，可能具有独立研究价值。
• 每个定义在m个物品上的单调次可加函数都属于MPH-⌈m/2⌉，建立了与MPH层次结构的联系。
• 结果表明，在此设定下，任何通信高效的truthful机制都无法优于平凡协议，即使在诚实报价的前提下。