[论文解读] Complementarity and Related Problems

Lianghai Xiao|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 105被引用 10

一句话总结

本文提出了一种新颖方法，通过将扩展二阶锥上的线性互补问题重新表述为非负卦限上的混合互补问题，从而实现高效算法求解。该方法进一步发展了随机扩展，并将该框架应用于投资组合优化，推导出一种新模型的解析解，同时建立了二次函数在球对偶凸集（包括球对偶二阶锥）上的球拟凸性条件。

ABSTRACT

In this thesis, we present results related to complementarity problems. We study the linear complementarity problems on extended second order cones. We convert a linear complementarity problem on an extended second order cone into a mixed complementarity problem on the non-negative orthant. We present algorithms for this problem, and exemplify it by a numerical example. Following this result, we explore the stochastic version of this linear complementarity problem. Finally, we apply complementarity problems on extended second order cones in a portfolio optimisation problem. In this application, we exploit our theoretical results to find an analytical solution to a new portfolio optimisation model. We also study the spherical quasi-convexity of quadratic functions on spherically self-dual convex sets. We start this study by exploring the characterisations and conditions for the spherical positive orthant. We present several conditions characterising the spherical quasi-convexity of quadratic functions. Then we generalise the conditions to the spherical quasi-convexity on spherically self-dual convex sets. In particular, we highlight the case of spherical second order cones.

研究动机与目标

• 解决在优化与均衡建模中出现的扩展二阶锥上的线性互补问题。
• 开发一种变换，将此类问题转化为非负卦限上的混合互补问题，以实现可计算的求解方法。
• 将该框架扩展至随机设置，以捕捉问题参数中的不确定性。
• 将理论结果应用于一种新的投资组合优化模型，推导出解析解。
• 刻画二次函数在球对偶凸集上的球拟凸性，特别关注球对偶二阶锥。

提出的方法

• 利用合适的变换，将扩展二阶锥上的线性互补问题重新表述为非负卦限上的混合互补问题。
• 提出针对变换后混合互补问题的数值算法，并通过数值示例进行验证。
• 通过引入随机参数，将线性互补问题扩展为随机形式，并采用期望残差最小化方法求解。
• 将理论框架应用于一种新的投资组合优化模型，利用互补条件推导出解析解。
• 建立二次函数在球对偶凸集上球拟凸性的必要与充分条件，特别关注球对偶二阶锥。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何有效重构扩展二阶锥上的线性互补问题，以实现数值求解？
• RQ2 在此背景下，随机性对互补问题解结构有何影响？
• RQ3 所提出的框架能否在一种新的投资组合优化模型中产生解析解？
• RQ4 在球对偶凸集上，二次函数球拟凸性的条件是什么？
• RQ5 球对偶二阶锥的性质如何影响球拟凸性特征的刻画？

主要发现

• 从扩展二阶锥互补问题到非负卦限上混合互补问题的变换，使得通过标准求解器实现有效数值求解成为可能。
• 数值示例表明所提出的算法方法具有可行性与高效性。
• 通过期望残差最小化方法，成功构建并求解了问题的随机扩展，同时保持了原始问题的结构。
• 利用扩展二阶锥上互补关系的理论结果，为一种新的投资组合优化模型推导出了解析解。
• 在球对偶凸集上，建立了二次函数球拟凸性的必要与充分条件，特别针对球对偶二阶锥给出了显式刻画。