[论文解读] Complete bounded holomorphic curves immersed in C^2 with arbitrary genus
本文通过改进 López 的摄动方法，应用于 [MUY] 中的亏格零例子，首次构造出 ℂ² 中任意亏格的完备有界全纯浸入的黎曼曲面。该技术可进一步推广至构造 ℝ³ 中的完备有界极小曲面以及 ℒ³ 中的弱完备有界极大曲面，为具有非平凡拓扑和有限拓扑的此类曲面提供了一种新颖且简化的构造方法。
In the previous paper, the authors constructed a complete holomorphic immersion of the unit disk D into C^2 whose image is bounded. In this paper, we shall prove existence of complete holomorphic null immersions of Riemann surfaces with arbitrary genus and finite topology, whose image is bounded in C^2. To construct such immersions, we apply the method used by F. J. Lopez to perturb the genus zero example changing its genus. As an analogue the above construction, we also give a new method to construct complete bounded minimal immersions (resp. weakly complete maximal surface) with arbitrary genus and finite topology in Euclidean 3-space (resp. Lorentz-Minkowski 3-spacetime).
研究动机与目标
- 构造 ℝ² 中任意亏格的黎曼曲面到 ℂ² 的完备有界全纯浸入。
- 将 López 的摄动方法扩展，以在极小曲面构造中实现全局有界性与亏格控制。
- 为构造具有任意亏格的完备有界极小曲面提供一种新且简化的欧几里得 3-空间方法。
- 在洛伦兹-闵可夫斯基 3-空间 ℒ³ 中首次构造出具有任意亏格的弱完备有界极大曲面。
- 解决一个开放问题：在 ℂ³ 中是否存在具有任意亏格的完备有界虚零全纯曲线。
提出的方法
- 将 [L] 中 López 的形变技术进行改编，对 ℂ³ 中的亏格零全纯浸入进行摄动，以引入更高亏格，同时保持完备性与有界性。
- 通过从亏格为 κ 的紧黎曼曲面 M 中移除点 Q₀,…,Qₑ 的邻域，构造全纯浸入 X: M∖∪Uₗ → ℂ²。
- 利用在 Q₀ 处有极点、在 Q₁,…,Qₑ 处有分支点的 M 上的亚纯函数 f 来定义形变参数。
- 通过迭代平方差分（fⱼ₊₁ = (fⱼ − cⱼ)²）生成一族具有受控周期与增长的全纯映射。
- 通过证明周期映射的雅可比行列式在原点处具有满秩 3n，解决周期问题，从而保证解的存在性。
- 利用一个辅助引理控制形如 ∫a(t)b(t)dt 的积分，该引理在 ∫a 以及 |b|, |b′| 有界时成立，从而证明有界性。
实验结果
研究问题
- RQ1能否在 ℂ² 中构造出具有任意亏格的完备有界全纯浸入的黎曼曲面？
- RQ2López 的摄动方法能否被改编以确保极小曲面构造中的全局有界性？
- RQ3在 ℝ³ 中是否存在具有任意亏格的完备有界极小曲面，且能否通过简化方法构造？
- RQ4在 ℒ³ 中是否存在具有任意亏格的弱完备有界极大曲面，若存在，如何构造？
- RQ5该方法能否扩展至在 ℂ³ 中构造具有任意亏格的完备有界虚零全纯曲线？
主要发现
- 本文首次构造出具有任意亏格的黎曼曲面在 ℂ² 中的完备有界全纯浸入。
- 该方法可产生具有任意亏格的 ℝ³ 中的完备有界极小浸入，其构造方法比以往方法更为新颖且简洁。
- 首次在洛伦兹-闵可夫斯基 3-空间 ℒ³ 中构造出具有任意亏格的弱完备有界极大曲面。
- 通过证明周期映射的雅可比行列式在原点处具有满秩 3n，解决了周期问题，从而保证了解的存在性。
- 通过一个控制积分的引理，基于对光滑函数的原函数与导数的有界性，确立了有界性。
- 该方法无法扩展至在 ℂ³ 中构造具有任意亏格的完备有界虚零全纯曲线，该问题仍为开放问题。
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