[论文解读] Complete Constant Mean Curvature surfaces and Bernstein type Theorems in $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$

José M. Espinar, Harold Rosenberg|ArXiv.org|Aug 25, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文在角度函数 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ 不变号的条件下，对乘积空间 $Μ^2 \times \mathbb{R}$ 中的完备常平均曲率（CMC）曲面进行分类，其中 $Μ^2$ 是一个完备的黎曼曲面。当 $H \neq 0$ 且投影 $c(\Sigma)$ 的高斯曲率下确界 $\geq 0$ 时，曲面为一条完备测地曲率为 $2H$ 的曲线的垂直柱面；当 $c(\Sigma) < 0$ 且 $H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ 时，曲面为一条完备测地曲率为常数 $2H$ 的曲线的垂直柱面，该结果被证明是最优的。当 $H = 0$ 时，曲面为垂直平面、水平截面，或在 $\u039c^2$ 为平坦时为倾斜平面。

ABSTRACT

In this paper we study constant mean curvature surfaces $Σ$ in a product space, $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$, where $\mathbb{M}^2$ is a complete Riemannian manifold. We assume the angle function $ν= \meta{N}{\partial_t}$ does not change sign on $Σ$. We classify these surfaces according to the infimum $c(Σ)$ of the Gaussian curvature of the projection of $Σ$. When $H eq 0$ and $c(Σ)\geq 0$, then $Σ$ is a cylinder over a complete curve with curvature 2H. If H=0 and $c(Σ) \geq 0$, then $Σ$ must be a vertical plane or $Σ$ is a slice $\mathbb{M}^2 imes {t}$, or $\mathbb{M}^2 \equiv \mathbb{R}^2$ with the flat metric and $Σ$ is a tilted plane (after possibly passing to a covering space). When $c(Σ)&lt;0$ and $H&gt;\sqrt{-c(Σ)} /2$, then $Σ$ is a vertical cylinder over a complete curve of $\mathbb{M}^2$ of constant geodesic curvature $2H$. This result is optimal. We also prove a non-existence result concerning complete multi-graphs in $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$, when $c(\mathbb{M}^2)&lt;0$.

研究动机与目标

• 在角度函数 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ 不变号的条件下，对 $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 中的完备常平均曲率（CMC）曲面进行分类。
• 基于曲面投影到 $\mathbb{M}^2$ 上的高斯曲率下确界 $c(\Sigma)$，确定此类曲面的几何约束。
• 将 $\mathbb{R}^3$ 中经典的 Bernstein 型定理推广至乘积空间 $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$，特别是针对 $H \neq 0$ 和 $H = 0$ 的情形。
• 证明当 $c(\mathbb{M}^2) < 0$ 且 $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ 时，$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 中不存在整个图。

提出的方法

• 分析依赖于角度函数 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ 不变号，这推广了 $\mathbb{R}^3$ 中高斯映射位于闭上半球面的情形。
• 关键几何不变量 $c(\Sigma) = \inf\{ \kappa(\pi(p)) \mid p \in \Sigma \}$ 用于根据底流形 $\mathbb{M}^2$ 的曲率对曲面进行分类。
• 通过稳定性算子 $J = \Delta + |A|^2 + \text{Ric}(\vec{n})$ 分析候选曲面的稳定性，特别是垂直柱面。
• 应用最大值原理的矛盾论证，通过紧致区域的变分排除不稳定构型，表明曲面无法在不违反平均曲率比较的情况下触及渐近极限。
• 该方法借鉴了 [HRS] 的技术，并将 Hoffman、Osserman 和 Schoen 在 $\mathbb{R}^3$ 中的结果推广至乘积空间。
• 分类根据 $c(\Sigma)$ 的符号分为不同情形，$H = 0$ 与 $H \neq 0$ 的结果各异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $c(\Sigma)$ 与 $H$ 满足何种条件时，$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 中具有不变号角度函数的完备 $H$-曲面会成为一条测地曲率为常数 $2H$ 的完备曲线的垂直柱面？
• RQ2 当 $c(\Sigma) \geq 0$ 且 $H = 0$ 时，分类结果如何？曲面是否仍为平面或截面，抑或可能为倾斜平面？
• RQ3 当 $c(\mathbb{M}^2) < 0$ 且 $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ 时，$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 中是否存在常平均曲率 $H$ 的整个图？
• RQ4 在 $c(\Sigma) < 0$ 的情形下，条件 $H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ 对柱状分类是否最优？
• RQ5 稳定性算子 $J = \Delta + |A|^2 + \text{Ric}(\vec{n})$ 如何帮助排除非柱状曲面？

主要发现

• 当 $H \neq 0$ 且 $c(\Sigma) \geq 0$ 时，曲面 $\Sigma$ 是 $\mathbb{M}^2$ 中一条测地曲率为常数 $2H$ 的完备曲线的垂直柱面。
• 当 $H = 0$ 且 $c(\Sigma) \geq 0$ 时，$\Sigma$ 要么是垂直平面，要么是水平截面 $\mathbb{M}^2 \times \{t\}$，或在 $\mathbb{M}^2 \cong \mathbb{R}^2$ 且具有平坦度量时为倾斜平面。
• 当 $c(\Sigma) < 0$ 且 $H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ 时，$\Sigma$ 是 $\mathbb{M}^2$ 中一条测地曲率为常数 $2H$ 的完备曲线的垂直柱面，且该结果为最优。
• 当 $c(\mathbb{M}^2) < 0$ 且 $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ 时，$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 中不存在常平均曲率 $H$ 的整个图，证明了一个精确的非存在性结果。
• 在垂直柱面 $Q = \widetilde{C} \times \mathbb{R}$ 上，稳定性算子 $J$ 为 $J = \Delta + a$，其中 $a = 4H^2 + \kappa > 0$，且对大区域的不稳定性可通过最大值原理导出矛盾。
• 分类结果是精确的，如 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中存在饱和曲率界限的类似 unduloid 的曲面所示。