[论文解读] Complete minimal surfaces in R3 with a prescribed coordinate function

Antonio Alarcón, Isabel Fernández|ArXiv.org|Aug 18, 2008

Analytic and geometric function theory参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文通过改进Jorge-Xavier和Nadirashvili的技术，结合Runge逼近和边界附近的迷宫构造，构建了在R³中具有任意非平凡调和坐标函数的完备单连通极小曲面。关键结果是：在紧致集上一致收敛的拓扑下，具有相同坐标函数的此类完备曲面在所有极小曲面的空间中是稠密的。

ABSTRACT

In this paper we construct complete simply connected minimal surfaces with a prescribed coordinate function. Moreover, we prove that these surfaces are dense in the space of all minimal surfaces with this coordinate function (with the topology of the smooth convergence on compact sets).

研究动机与目标

• 确定任意单连通区域上的调和函数是否可作为R³中完备极小曲面的坐标函数。
• 将Jorge-Xavier构造方法（最初仅适用于x₃(z) = Re(z)）推广至任意非平凡调和函数。
• 建立具有固定坐标函数的完备极小曲面在所有此类极小曲面空间中的稠密性（在紧致收敛拓扑下）。
• 探讨相关设定中的几何后果：L³中的极大曲面和C³中的全纯零曲线。
• 识别构造具有有界坐标函数的完备有界极小曲面的精确障碍。

提出的方法

• 使用Weierstrass表示法，将极小浸入与满足Φ₁² + Φ₂² + Φ₃² = 0且范数非零的全纯1-形式(Φ₁, Φ₂, Φ₃)关联起来。
• 固定第三坐标函数X₃ = u，其中u是Σ = C或D上的给定非平凡调和函数，并构造Weierstrass数据(g, Φ₃)，使得Re∫Φ₃ = u。
• 应用定理1：对于任意具有X₃ = u的共形极小浸入X，紧集K ⊂ Σ，以及ε > 0，构造一个新的完备浸入Y，使得在K上有‖X − Y‖ < ε，且Y₃ = X₃。
• 利用Runge定理，并在∂Σ附近精心设计一系列紧致集构成的迷宫，以确保完备性，同时逼近原始浸入。
• 使用López-Ros变换在不改变第三坐标的情况下形变 Gauss 映射g，从而实现对度量和完备性的控制。
• 通过复分析对偶性（例如，Re∫(iΦ₁, iΦ₂, Φ₃)给出极大曲面）将结果推广至L³中的极大曲面和C³中的全纯零曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意单连通区域上的非平凡调和函数是否都可作为R³中完备极小曲面的坐标函数？
• RQ2 具有固定坐标函数的完备极小浸入集合在所有此类浸入空间中是否在紧致收敛拓扑下稠密？
• RQ3 构造具有有界调和坐标函数的完备有界极小曲面存在哪些障碍？
• RQ4 用于极小曲面的技术能否被改编以构造具有指定坐标的完备极大曲面或全 holomorphic null 曲线？
• RQ5 当一个坐标函数有界时，极小曲面的其他坐标函数的有界性受到何种限制？

主要发现

• 对于Σ = C或D上的任意非平凡调和函数u，存在一个共形完备极小浸入X: Σ → R³，使得X₃ = u。
• 在紧致集上一致收敛的拓扑下，具有固定坐标函数X₃ = u的完备极小浸入集合在所有具有该坐标的共形极小浸入空间中是稠密的。
• 具有有界第三坐标函数的完备极小浸入不能同时使X₁和X₂有界；若其中一个有界，则另一个必无界。
• 一般情况下，无法构造具有指定有界坐标函数的完备有界极小曲面，这一结论通过Bourgain定理和度量可积性导出矛盾得以证明。
• 结果可推广至L³中的极大曲面：对于Σ上的任意非平凡调和函数u，存在一个弱完备的共形极大浸入Y: Σ → L³，使得Y₃ = u。
• 对于Σ上的任意非平凡全纯函数f，存在一个完备的全纯零曲线F: Σ → C³，使得F₃ = f。