[论文解读] Complete monotonicity of a family of functions involving the tri- and tetra-gamma functions

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文建立了函数 $ f_\lambda(x) = [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) - \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调性的必要与充分条件，证明其完全单调当且仅当 $ \lambda \leq 0 $，其负函数完全单调当且仅当 $ \lambda \geq 4 $。这些结果改进并 sharpen 了关于三伽马与四伽马函数的现有不等式。

ABSTRACT

The psi function $ψ(x)$ is defined by $ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$ and $ψ^{(i)}(x)$ for $i\in\mathbb{N}$ denote polygamma functions, where $Γ(x)$ is the gamma function. In this paper, we prove that the function $$ [ψ'(x)]^2+ψ"(x)-\frac{x^2+λx+12}{12x^4(x+1)^2} $$ is completely monotonic on $(0,\infty)$ if and only if $λ\le0$, and so is its negative if and only if $λ\ge4$. From this, some inequalities are refined and sharpened.

研究动机与目标

• 确定实参数 $ \lambda $ 的精确范围，使得函数 $ f_\lambda(x) = [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) - \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调。
• 建立 $ f_\lambda(x) $ 的负函数在 $ (0,\infty) $ 上完全单调的必要与充分条件。
• 通过推导形如 $ \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ 的最优有理界，改进并 sharpen 了表达式 $ [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) $ 的现有不等式。
• 提供基于积分表示与渐近展开的替代证明，并推导出涉及 psi 函数与多伽马函数的新完全单调函数与不等式。

提出的方法

• 利用多伽马函数的递推公式 $ \psi^{(n-1)}(x+1) = \psi^{(n-1)}(x) + \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $ 分析差值 $ f_\lambda(x) - f_\lambda(x+1) $。
• 应用积分表示：$ \psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} \int_0^\infty \frac{t^n}{1 - e^{-t}} e^{-xt} dt $，以及 $ \frac{1}{x^r} = \frac{1}{\Gamma(r)} \int_0^\infty t^{r-1} e^{-xt} dt $，将函数表示为拉普拉斯变换的形式。
• 运用笛卡尔符号法则与 $ \psi'(x) $、$ \psi''(x) $ 的渐近展开，分析 $ f_\lambda(x) $ 在 $ x \to 0^+ $ 与 $ x \to \infty $ 时的符号行为。
• 通过系数分析，结合 $ \psi'(x) $ 与有理函数及对数项，构造新的完全单调函数并证明其单调性。
• 利用 Bernstein-Widder 定理（将完全单调函数表征为非减测度的拉普拉斯变换）验证所推导函数的单调性。
• 对所导出的完全单调函数进行积分，获得关于 $ \psi(x) $ 的新双不等式，其中包含对数项与有理项。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ \lambda \in \mathbb{R} $ 值，函数 $ f_\lambda(x) = [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) - \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调？
• RQ2 对于哪些 $ \lambda \in \mathbb{R} $ 值，$ f_\lambda(x) $ 的负函数在 $ (0,\infty) $ 上完全单调？
• RQ3 形如 $ \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ 的最优有理界，如何在 $ (0,\infty) $ 上紧致地从下方与上方控制 $ [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) $？
• RQ4 能否通过组合 $ \psi'(x) $、有理函数与对数项构造新的完全单调函数？其参数条件为何？
• RQ5 当 $ x \to 0^+ $ 与 $ x \to \infty $ 时，$ f_\lambda(x) $ 的精确渐近行为是什么？这些行为如何约束参数 $ \lambda $？

主要发现

• 函数 $ f_\lambda(x) = [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) - \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调当且仅当 $ \lambda \leq 0 $。
• $ f_\lambda(x) $ 的负函数，即 $ -f_\lambda(x) $，在 $ (0,\infty) $ 上完全单调当且仅当 $ \lambda \geq 4 $。
• 双不等式 $ \frac{x^2 + \mu x + 12}{12x^4(x+1)^2} < [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) < \frac{x^2 + \nu x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ 在 $ (0,\infty) $ 上成立当且仅当 $ \mu \leq 0 $ 且 $ \nu \geq 4 $。
• 函数 $ \psi'(x) - \frac{\lambda(4 + 8x + 5x^2)}{24x(1+x)^3(2+x)^2} - \frac{24 + 120x + 283x^2 + 399x^3 + 345x^4 + 181x^5 + 51x^6 + 6x^7}{6x^2(1+x)^4(2+x)^2} $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调当且仅当 $ \lambda \leq 0 $。
• 对上述函数积分，可得一个关于 $ \psi(x) $ 的双不等式，其中包含对数项，该不等式成立当且仅当 $ \xi \geq 4 $ 且 $ \eta \leq 0 $。
• 函数 $ G_\lambda(x) = \ln\Gamma(x) + x + \frac{1}{12(1+x)^2} + \frac{\lambda - 48}{48(1+x)} + \frac{H_\lambda(x)}{24} $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调当且仅当 $ \lambda \leq 0 $，且对所有 $ k \in \mathbb{N} $ 满足 $ (-1)^{k+1}[G_\lambda(x)]^{(k)} > 0 $ 当且仅当 $ \lambda \geq 4 $。