[论文解读] Complete periodicity of Prym eigenforms

Erwan Lanneau, Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 9

一句话总结

该论文在三至五维数的Prym特征形式中建立了完全周期性，证明了所有同调方向均为代数周期性，且所有正规闭测地线均位于完全周期性方向中。通过一种新颖的线性对合方法研究周期性 foliations，作者证明了Veech群的极限集要么为空集，要么为单点，要么为无穷远的整个圆周，从而得到了一类新的具有第一类无限生成Veech群的微分几何表面。

ABSTRACT

This paper deals with Prym eigenforms which are introduced previously by McMullen. We prove several results on the directional flow on those surfaces, related to complete periodicity (introduced by Calta). More precisely we show that any homological direction is algebraically periodic, and any direction of a regular closed geodesic is a completely periodic direction. As a consequence we draw that the limit set of the Veech group of every Prym eigenform in some Prym loci of genus 3,4, and 5 is either empty, one point, or the full circle at infinity. We also construct new examples of translation surfaces satisfying the topological Veech dichotomy. As a corollary we obtain new translation surfaces whose Veech group is infinitely generated and of the first kind.

研究动机与目标

• 在三至五维数中建立Prym特征形式的完全周期性，扩展二维数时的结果。
• 刻画特定层中Prym特征形式的Veech群极限集，证明其为：空集、单点或整个无穷远圆周。
• 构造满足拓扑Veech二分法但非Veech曲面有理覆盖的微分几何曲面的新实例。
• 证明存在无穷多个Prym特征形式，其Veech群为第一类无限生成群。

提出的方法

• 引入一种利用线性对合研究周期性foliation的新方法，以分析微分几何曲面上的方向流。
• 利用Sah-Arnoux-Fathi（SAF）不变量定义代数周期性，并将其与完全周期性关联。
• 分析同调方向中的柱分解，利用Prym对合τ的对称性定位鞍点连接与测地线段。
• 在Prym(1,1,2)、Prym(4,4)even与Prym(1,1,4)中构造具有特定周期坐标及实乘法作用于二次序的显式微分几何曲面实例。
• 应用德恩扭转扰动方向，证明不稳定周期性方向在任意正规闭测地线方向附近稠密。
• 利用如下事实：若一个Fuchs群的极限集为整个无穷远圆周，则其为第一类群；并证明非格点Veech群必为无限生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 Prym特征形式的所有同调方向是否均表现出代数周期性，即SAF不变量是否为零？
• RQ2 在三至五维数中，Prym特征形式中包含正规闭测地线的所有方向是否均为完全周期性？
• RQ3 在Q(8)、Q(−1,2,3)与Q(−13,1,2)层中，Prym特征形式的Veech群可能的极限集有哪些？
• RQ4 能否构造出非Veech微分几何曲面的新实例，使其满足拓扑Veech二分法？
• RQ5 是否存在无穷多个Prym特征形式，其Veech群为第一类无限生成群？

主要发现

• 所有Prym特征形式的同调方向均为代数周期性，即SAF不变量为零。
• 所有包含正规闭测地线的方向均为完全周期性，意味着流要么是周期性的，要么是唯一遍历的。
• 对于Q(8)、Q(−1,2,3)或Q(−13,1,2)层中的任意Prym特征形式，其Veech群的极限集为：空集、单点或整个无穷远圆周。
• 在Prym(1,1,2)、Prym(4,4)even与Prym(1,1,4)中存在无穷多个微分几何曲面，其Veech群为无限生成且属于第一类。
• 在Prym(1,1,2)中构造出具有不可公度柱模的显式曲面，证明了其非Veech性质及Veech群的无限生成性。
• 所有在Q(8)与Q(−1,2,3)中且被伪Anosov映射稳定的二次微分，其拓扑Veech二分法成立，提供了首例非Veech曲面的有理覆盖的实例。