[论文解读] Complete positivity and dissipative factorized dynamics: some comments

Fabio Benatti, Roberto Floreanini+2 more|ArXiv.org|Oct 24, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究了双粒子开放量子系统因子化马尔可夫动力学保持正定性的条件，表明尽管张量积映射的一般正定性并不要求各子系统动力学的完全正定性（CP），但在一个动力学是另一个的微小扰动时（典型情况为与热库耦合的系统），CP 成为必要条件。关键结果表明，在此类微扰条件下，为避免物理不一致，两个映射的完全正定性均被强制成立。

ABSTRACT

After reviewing the main properties of time-evolutions of open quantum systems, some considerations about the positivity of factorized Markovian dynamics for bipartite systems are made. In particular, it is shown that the positivity of the whole time-evolution in general does not ask for the complete positivity of the single system time-evolutions, if they are allowed to differ. However, they must be completely positive if one is a small perturbation of the other, which is the typical situation for open systems in a heat bath.

研究动机与目标

• 阐明开放量子系统中因子化动力学的正定性与各子系统时间演化完全正定性（CP）之间的关系。
• 研究当子系统在不同动力学下演化时，联合映射 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ 的正定性是否蕴含 $\gamma_t^{(1)}$ 和 $\gamma_t^{(2)}$ 的完全正定性。
• 确定在何种条件下，个体映射的完全正定性成为双粒子系统物理一致性的必要条件，特别是在存在微小扰动的情况下。
• 建立当 $\gamma_t^{(2)}$ 是 $\gamma_t^{(1)}$ 的微小扰动时，两个映射的完全正定性均为必需，这在与热库耦合的系统中常见。

提出的方法

• 分析利用马尔可夫动力学的半群结构，以时间演化生成元 $L$ 和 $L_\varepsilon = L + \varepsilon\Lambda$ 表示。
• 采用在盖尔曼基下的生成元矩阵表示，导出与 Lindblad 算符相关的厄米矩阵 $C$ 和 $C_\varepsilon$。
• 通过联合系统满足 $C_1 + C_2 \geq 0$ 的条件，分析张量积映射 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ 的正定性。
• 证明依赖于微扰理论，表明若 $\gamma_t \otimes \gamma_t^\varepsilon$ 对于小 $\varepsilon$ 保持正定性，则 $C_\varepsilon \geq 0$ 对于零附近的 $\varepsilon$ 成立。
• 论证基于 $\langle \xi | C_\varepsilon | \xi \rangle \geq 0$ 对所有 $\xi \in \mathbb{C}^{n^2-1}$ 成立，意味着 $C_\varepsilon$ 是正定的，因此 $\gamma_t^\varepsilon$ 是 CP。
• 通过反证法推导出完全正定性的必要性：若 $C_\varepsilon$ 不是正定的，则对于小 $\varepsilon$，张量映射的正定性将不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 联合映射 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ 的正定性是否意味着 $\gamma_t^{(1)}$ 和 $\gamma_t^{(2)}$ 均为完全正定？
• RQ2 在何种条件下，个体子系统动力学的完全正定性对于联合系统的物理一致性是必要的？
• RQ3 当一个子系统的演化是另一个的微小扰动时，联合动力学的正定性会发生什么变化？
• RQ4 为何在与热库耦合的系统中，即使子系统经历不同动力学，完全正定性仍是必需的？”

主要发现

• 当两个子系统在不同动力学下演化时，因子化映射 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ 的正定性一般并不蕴含 $\gamma_t^{(1)}$ 或 $\gamma_t^{(2)}$ 的完全正定性。
• 然而，若 $\gamma_t^{(2)}$ 是 $\gamma_t^{(1)}$ 的微小扰动，则 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ 的正定性蕴含两个映射的完全正定性。
• 存在一个区间 $I_0 = [0, \varepsilon_0]$，使得对所有 $\varepsilon \in I_0$，联合映射 $\gamma_t \otimes \gamma_t^\varepsilon$ 保持正定性，当且仅当 $\gamma_t$ 和 $\gamma_t^\varepsilon$ 均为完全正定。
• 完全正定性的必要性源于要求 $C_\varepsilon = C + \varepsilon\Gamma$ 对于小 $\varepsilon$ 保持正定，若 $C$ 不是正定的，则该条件将不成立。
• 结果表明，在弱不同动力学下（如热库中的系统），双粒子系统的物理一致性要求个体时间演化的完全正定性。