[论文解读] Complete Proof of the Collatz Conjecture

Farzali Izadi|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2021

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过在模 6、12、24、36、48、60、72、84、96 和 108 下分析奇正整数，利用模运算和数学归纳法，声称提供了哥德巴赫猜想的完整证明，表明所有此类数通过哥德巴赫函数最终都会到达 1。该证明基于剩余类的归纳法与情形分析，表明对于每个奇数，要么在其哥德巴赫映射下存在更小的原像，要么其轨迹会缩减为更小的奇数，最终达到 1。

ABSTRACT

The extit{Collatz's conjecture} is an unsolved problem in mathematics. It is named after Lothar Collatz in 1973. The conjecture also known as Syrucuse conjecture or problem. Take any positive integer $ n $. If $ n $ is even then divide it by $ 2 $, else do "triple plus one" and get $ 3n+1 $. The conjecture is that for all numbers, this process converges to one. In the modular arithmetic notation, define a function $ f $ as follows: \[f(x)= \left\{ \begin{array}{lll} \frac{n}{2} &if & n\equiv 0 \pmod 2\\ 3n+1& if& n\equiv 1 \pmod 2. \end{array} ight. \] In this paper, we present the proof of the Collatz conjecture for many types of sets defined by the remainder theorem of arithmetic. These sets are defined in mods $6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108$ and we took only odd positive remainders to work with. It is not difficult to prove that the same results are true for any mod $12m, $ for positive integers $m$.

研究动机与目标

• 通过在剩余类上使用模运算和归纳法，提供哥德巴赫猜想的完整证明。
• 通过分析特定模数下的行为，证明所有奇正整数在哥德巴赫函数作用下最终都会到达 1。
• 表明形如 12m（例如 12、24、36、…、108）的模数允许完整的归纳证明，而 15 或 18 等模数则不能。
• 建立对于每个奇数 k，都存在一个原像 k′ < k，使得 f(k′) = k，或 f(k) 会缩减为 E 中更小的奇数。
• 证明在迭代下能到达 1 的奇数集合 E 等于所有奇正整数的集合 I，从而确认猜想。

提出的方法

• 本文对奇正整数使用归纳法，假设所有小于 k−2 的奇正整数都属于 E（即能到达 1 的整数集合），并证明 k 属于 E。
• 在模 6、12、24、36、48、60、72、84、96 和 108 下应用模运算，仅关注奇数余数。
• 对于每个模 12m 的剩余类，本文根据 3x+1 的算术行为和 2 的幂次整除性，定义了四个集合（U、V、W、X）。
• 使用两种关键策略：(1) 寻找更小的原像 k′，使得 3k′+1 = k；(2) 证明 f(k) < k 且 f(k) ∈ E。
• 在模 108 下，它为每个剩余类显式构造了 k′，并验证 f(k′) = k 或 f(k) ∈ E，利用了当 j ∈ V 时 3j+1 可被 4 整除的性质。
• 该证明依赖于如下事实：当 s = 12m 时，3x+1 的结构以及除以 4 或 2 的操作可确保下降到更小的奇数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用形如 12m 的模数下的模运算来证明哥德巴赫猜想？
• RQ2 在哪些模数下，哥德巴赫函数能支持从 1 开始的完整归纳下降？
• RQ3 能否通过构造原像或更小的像，证明每个奇正整数最终都会到达 1？
• RQ4 为何 15 和 18 等模数无法支持完整证明，而 12m 模数可以？
• RQ5 当通过 12m 模数的剩余类分析时，哥德巴赫映射下能到达 1 的整数密度是否等于 1？

主要发现

• 本文声称证明了对于所有奇正整数 k，存在 n ≥ 1，使得 fⁿ(k) = 1，从而确认了哥德巴赫猜想。
• 该证明对所有形如 12m 的模数（包括 12、24、36、48、60、72、84、96 和 108）均成立，其中模 108 被用作代表性案例。
• 对于每个奇数 k，要么存在更小的原像 k′ < k，使得 f(k′) = k，要么 f(k) 是小于 k 的奇数且属于 E。
• 在模 108 下，集合 U、V、W 和 X 的定义方式确保：对于每个剩余类，哥德巴赫轨迹要么映射到更小的奇数，要么存在有效原像。
• 模 108 下四个剩余类 U、V、W、X 的密度被证明为 1，意味着所有奇数都被覆盖。
• 该证明在模 15 和模 18 下失败，因为 3x+1 无法产生足够的 2 或 4 的整除性，无法确保下降到更小的值。