[论文解读] Complete topologized posets and semilattices

Тарас Банах, Serhii Bardyla|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文引入並研究了完全拓撲偏序集與半格的概念，重點在於鏈與方向集的上確界與下確界之拓撲閉包。研究證明，此類結構中的完備性（定義為鏈的上確界與下確界在閉包中）可等價地透過方向集來表徵，並證明在某些分離與緊緻性條件下，完全半拓撲半格中的偏序在乘積空間中是閉的。

ABSTRACT

In this paper we discuss the notion of completeness of topologized posets and survey some recent results on closedness properties of complete topologized semilattices.

研究动机与目标

• 形式化並分析拓撲偏序集中完備性的概念，要求鏈的上確界與下確界必須位於鏈的閉包中。
• 研究拓撲閉包性質與半格中序理論完備性之間的相互作用。
• 確定半拓撲半格中偏序在乘積空間中為閉的條件。
• 建立完備半拓撲半格中偏序關係閉包性質與拓撲分離公理之間的等價關係。

提出的方法

• 使用大小不超過 $\kappa$ 的方向集與鏈，引入 ${\text{up}}\kappa$-完備與 ${\text{down}}\kappa$-完備拓撲偏序集的概念。
• 應用超限歸納法與上方向子集的遞歸構造，證明鏈完備性可推出方向集完備性。
• 利用 $U$-、$V$- 與 $\downarrow\uparrow$-閉包性等拓撲性質，表徵半拓撲半格中的分離性與序閉包性。
• 應用一般拓撲學中的結果，包括序列空間與函子豪斯多夫空間，推導偏序閉包的條件。
• 運用 Lawson 拓撲與閉子半格的概念，分析分離性與序閉包性質。
• 構造反例（例如在 [8] 與 [9] 中）以顯示完備性之必要性：$\uparrow$-有限半拓撲半格可能不具閉的偏序。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種拓撲條件下，完備半拓撲半格的偏序在乘積空間中為閉？
• RQ2 $U$-、$V$- 與 $\downarrow\uparrow$-閉包性質如何與分離公理及半拓撲半格中的序閉包性相關？
• RQ3 在 $\omega_1$-Lawson 完備半拓撲半格中，偏序是否為閉？
• RQ4 是否能以鏈而非一般方向集來等價表徵拓撲偏序集的完備性？
• RQ5 何種拓撲性質可確保鏈的閉包包含其上確界與下確界？

主要发现

• 拓撲偏序集為 ${\uparrow}\kappa$-完備，當且僅當每一切大小不超過 $\kappa$ 的鏈，其上確界位於該鏈的閉包中。
• 若完備半拓撲半格 $X$ 為豪斯多夫空間、$\omega$-Lawson 空間，或滿足 $\vec{T}_{2\delta}$ 條件，則其偏序 $\leq_X$ 在 $X \times X$ 中為閉。
• 對於良基或 $\downarrow$-有限半拓撲半格，其偏序在 $X \times X$ 中為閉，當且僅當空間為豪斯多夫空間或 $\downarrow\uparrow$-閉。
• 存在反例顯示完備性至關重要：存在 $\uparrow$-有限的度量半拓撲半格，其偏序在 $X \times X$ 中非閉。
• 若半拓撲 $U$-半格為 $\uparrow$-閉，則其偏序在 $X \times X$ 中為閉，且此性質可推出豪斯多夫性。
• 完備半拓撲半格為 $1$-Lawson 當且僅當其偏序在 $X \times X$ 中為閉，且此性質在多種分離條件下成立。