[论文解读] Complete translating solitons to the mean curvature flow in $\mathbb{R}^3$ with nonnegative mean curvature

Joel Spruck, Ling Xiao|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 24

一句话总结

本文证明了在 ℝ³ 中，任何具有非负平均曲率的完备、浸入的、双侧的平移孤立子都是严格凸的。通过最大值原理技术和渐近分析，作者证明此类孤立子必为轴对称的“碗孤立子”或定义在条带区域上的图孤立子，完全分类了其在平均凸性条件下的渐近对称性与几何结构。

ABSTRACT

We prove that any complete immersed two-sided mean convex translating soliton $Σ\subset \mathbb{R}^3$ for the mean curvature flow is convex. As a corollary it follows that an entire mean convex graphical translating soliton in $\mathbb{R}^3$ is the axisymmetric "bowl soliton". We also show that if the mean curvature of $Σ$ tends to zero at infinity, then $Σ$ can be represented as an entire graph and so is the "bowl soliton". Finally we classify all locally strictly convex graphical translating solitons defined over strip regions.

研究动机与目标

• 对 ℝ³ 中具有非负平均曲率的完备、浸入的、双侧平移孤立子进行分类。
• 通过证明 ℝ³ 中整个平均凸图平移孤立子具有旋转对称性，解决 Wang（2013）对 n=2 的猜想。
• 刻画定义在条带区域上的局部严格凸图平移孤立子的渐近行为。
• 建立此类孤立子成为整个图的条件，特别是当平均曲率在无穷远处趋于零时。
• 通过移动平面法与椭圆型 PDE 分析，证明图孤立子的对称性与唯一性。

提出的方法

• 在移动平面构型中对解的差值应用最大值原理，以建立严格正性与对称性。
• 使用图平移孤立子的椭圆型 Monge–Ampère 型方程：$ u_{x_1x_1}(1+u_{x_2}^2) + u_{x_2x_2}(1+u_{x_1}^2) = (1+|Du|^2)^{3/2} $，该方程由平均曲率条件导出。
• 对无穷远处的梯度 $ Du $ 进行渐近分析，以控制增长并证明高斯映射的有界性。
• 应用引理 5.7，在半条带区域中导出高斯映射 $ W = \sqrt{1 + |Du|^2} $ 的一致有界性，若条带宽度减小则导致不完备性矛盾。
• 使用带障碍函数与边界行为的移动平面法，证明关于 $ x_1 = 0 $ 的反射对称性。
• 分析爆破极限，并利用 $ u_{x_2} $ 在无穷远处的收敛性，推导出梯度与曲率的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 ℝ³ 中完备的平均凸平移孤立子是否必然为凸的？
• RQ2 ℝ³ 中整个平均凸图平移孤立子是否可能不具备旋转对称性？
• RQ3 定义在条带区域上的局部严格凸图平移孤立子的渐近行为如何？
• RQ4 在何种条件下，平均曲率在无穷远处趋于零的平移孤立子会成为整个图？
• RQ5 '碗孤立子'是否是 ℝ³ 中唯一的整个平均凸图平移孤立子？

主要发现

• 任何具有非负平均曲率的 ℝ³ 中完备浸入双侧平移孤立子都是凸的。
• ℝ³ 中整个平均凸图平移孤立子必为轴对称的“碗孤立子”。
• 若完备平移孤立子的平均曲率在无穷远处趋于零，则该孤立子为整个图，因此即为碗孤立子。
• 所有定义在条带区域上的局部严格凸图平移孤立子均关于 $ x_1 = 0 $ 平面对称。
• 对于此类条带孤立子，有 $ u_{x_1}(x_1,x_2) > 0 $ 对 $ x_1 > 0 $ 成立，且梯度 $ u_{x_2} $ 在无穷远处一致收敛于常数。
• 条带区域的宽度在渐近极限下不会缩小，意味着极限轮廓要么是完整条带，要么是整个平面，宽度不会发生减小。