[论文解读] Completely Reachable Automata: A Polynomial Algorithm and Quadratic Upper Bounds

Robert Ferens, Marek Szykuła|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2022

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，可在 O(|Σ|·n²) 时间和 O(|Σ|·n) 空间内判断一个确定性有限自动机是否完全可达，其中 n 为状态数。此外，该文证明了非空子集可达性的二次上界，推广了 Don 的猜想，并为完全可达自动机得出了 O(n²) 的重置阈值上界。

ABSTRACT

A complete deterministic finite (semi)automaton (DFA) with a set of states $Q$ is \emph{completely reachable} if every nonempty subset of $Q$ is the image of the action of some word applied to $Q$. The concept of completely reachable automata appeared, in particular, in connection with synchronizing automata; the class contains the Čern{ý} automata and covers several distinguished subclasses. The notion was introduced by Bondar and Volkov (2016), who also raised the question about the complexity of deciding if an automaton is completely reachable. We develop an algorithm solving this problem, which works in ${\mathcal{O}(|Σ|\cdot n^2)}$ time and $\mathcal{O}(|Σ|\cdot n)$ space, where $n=|Q|$ is the number of states and $|Σ|$ is the size of the input alphabet. In the second part, we prove a weak Don's conjecture for this class of automata: a nonempty subset of states $S \subseteq Q$ is reachable with a word of length at most $2n(n-|S|) - n \cdot H_{n-|S|}$, where $H_i$ is the $i$-th harmonic number. This implies a quadratic upper bound in $n$ on the length of the shortest synchronizing words (reset threshold) for the class of completely reachable automata and generalizes earlier upper bounds derived for its subclasses.

研究动机与目标

• 解决判定给定自动机是否完全可达的开放问题。
• 确定在完全可达自动机中，用于到达任意非空状态子集的最短词长度的紧致上界。
• 将 Don 的猜想推广至完全可达自动机类。
• 改进同步自动机子类中现有重置阈值的上界。
• 为高效测试与分析同步自动机提供理论基础。

提出的方法

• 基于通过全状态集上的词作用分析子集可达性的决策算法。
• 通过逆像和群轨道提出可达子集的新表征。
• 应用调和数界推导出词长度的紧致估计。
• 利用 Rystsov 图的推广形式以及具有置换字母和奇异字母的自动机的结构特性。
• 采用递归扩展技术，从较短的词构造出可达性更长的词。
• 提出一种方法，通过群轨道大小和调和级数来界定到达子集的词长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多项式时间内判定 DFA 的完全可达性？
• RQ2 在完全可达自动机中，用于到达任意非空子集的最短词长度的最紧可能上界是什么？
• RQ3 Don 的猜想是否适用于完全可达自动机类，若成立，其形式如何？
• RQ4 完全可达自动机的重置阈值能否在 n 上呈二次有界？
• RQ5 如群轨道大小等结构特性如何影响可达性上界？

主要发现

• 本文提出了一种 O(|Σ|·n²) 时间和 O(|Σ|·n) 空间算法，用于判定 DFA 的完全可达性。
• 证明了 Don 猜想的一个弱形式：任意非空子集 S ⊆ Q 可通过长度至多为 2n(n−|S|)−n·H_{n−|S|} 的词到达，其中 H_i 为第 i 个调和数。
• 该界意味着完全可达自动机的重置阈值存在二次上界，具体为 ≤ 2n(n−2)−n·ln(n−2)−γn+1（当 n≥6 时）。
• 当最大群轨道大小 ℓ≤ln n 时，该界收紧为 n(n−|S|)，表明此类自动机满足 Cerný 猜想。
• 该结果优于此前对具有简单幂等元或 aperiodically 1-contraction 自动机等子类的界。
• 对大子集（大小 ≥n−ω(1)）可达性的放宽处理，结合广义避免词方法，可得子三次重置阈值，即 o(n³)。