[论文解读] Completeness results for many-valued \Lukasiewicz modal systems and relational semantics

Georges Hansoul, Bruno Teheux|ArXiv.org|Dec 19, 2006

Advanced Algebra and Logic被引用 26

一句话总结

本文引入了一类多值 Łukasiewicz 模态逻辑，并通过标准模型构造建立了完备性结果。它证明了有限多值模态逻辑及一种无穷演绎扩展的完备性，使用了一种新颖的无穷演绎规则，通过框架可定义性分析区分了 Kripke-完备性与 n+1-框架完备性。

ABSTRACT

The paper is dedicated to the problem of adding a modality to the \Lukasiewicz many-valued logics in the purpose of obtaining completeness results for Kripke semantics. We define a class of modal many-valued logics and their corresponding Kripke models and modal many-valued algebras. Completeness results are considered through the construction of a canonical model. Completeness is obtained for modal finitely-valued logics but also for a modal many-valued system with an infinitary deduction rule. We introduce two classes of frames for the finitely-valued logics and show that they define two distinct classes of Kripke-complete logics.

研究动机与目标

• 将 Łukasiewicz 多值逻辑扩展模态算子，以在 Kripke 语义下实现完备性。
• 定义模态多值 Kripke 模型及其对应的代数结构（MMV-代数），以实现语义上的可靠与完备。
• 为模态多值逻辑构造标准模型，以证明完备性，尤其针对有限多值与无穷系统。
• 通过引入 n+1-框架作为一类新结构，区分 Kripke-完备性与 n+1-框架完备性。
• 探讨模态公式与框架及 n+1-框架上一阶性质之间的对应关系，突出语义上的差异。

提出的方法

• 将多值 Kripke 模型定义为三元组 ⟨W, R, Val⟩，其中 W 为非空世界集合，R 为可达性关系，Val 将命题变量映射到 [0,1] 或有限集 L_n。
• 引入使用 Łukasiewicz 逻辑运算标准解释的模态 Łukasiewicz 逻辑，其连接词包括 ⊕, ¬, □。
• 利用公式在逻辑下的 Lindenbaum-Tarski 代数构造标准模型，通过极大一致集合分配真值。
• 证明标准模型的真值赋值可自然扩展至所有公式（命题 5.5），从而支持完备性证明。
• 引入 n+1-框架作为从框架导出的一阶结构，通过限制赋值实现，以分析 n+1-Kripke-完备性。
• 使用一种无穷演绎规则（Inf），从 {φ⊕φ^n} 对所有 n≥2 推导出 φ，从而在无穷系统中实现完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过标准模型构造，使 Łukasiewicz 多值逻辑的模态扩展在 Kripke 语义下实现完备性？
• RQ2 无穷演绎规则（Inf）在实现模态多值逻辑完备性中起什么作用？
• RQ3 Kripke-完备性与 n+1-Kripke-完备性有何不同？框架的何种结构特征导致这一区别？
• RQ4 标准模型构造能否简化有限多值模态 Łukasiewicz 逻辑的公理化？
• RQ5 模态公式与框架及 n+1-框架上一阶可定义性质之间存在何种对应关系？

主要发现

• 通过标准模型构造，建立了有限多值模态 Łukasiewicz 逻辑的完备性。
• 引入 (Inf) 规则的无穷模态多值系统实现了完备性：Γ ⊢∞ φ 当且仅当 φ 在 Γ 的所有模型中为真。
• 标准模型的真值赋值可自然扩展至所有公式，这是关键的技术结果（命题 5.5）。
• 逻辑 L₂ 不是 Kripke-完备的，表明 Kripke-完备性与 n+1-Kripke-完备性之间存在严格区别。
• 引入 n+1-框架作为一类新结构，定义了一类不同的 Kripke-完备逻辑，表明框架可定义性依赖于赋值限制。
• 本文指出，无穷规则 (Inf) 在一般情况下是完备性所必需的，因为尚不明确 ⊢∞ φ 是否等价于 ⊢K φ。