[论文解读] Completeness Theorems for Pomset Languages and Concurrent Kleene Algebras

Michael R. Laurence, Georg Struth|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文通过证明所有使用双克莱尼运算（0, 1, +, ·, ∗, ∥, (∗)）的关于 pomset 语言的合法全称等式，均可从正规语言和交换正规语言的等式理论中推导出，建立了 pomset 语言和并发克莱尼代数的完备性定理。此外，本文还表明，有理 pomset 语言类在布尔运算下是封闭的，对于不包含并行迭代的 bw-有理项（bw-rational terms），其生成的理想语言可用 bw-有理项表示，且其等式可通过克莱尼公理和交换律证明。

ABSTRACT

Pomsets constitute one of the most basic models of concurrency. A pomset is a generalisation of a word over an alphabet in that letters may be partially ordered. A term $t$ using the bi-Kleene operations $0,1, +, \cdot\, ,^*, \parallel, ^{(*)}$ defines a language $ \mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] } $ of pomsets in a natural way. We prove that every valid universal equality over pomset languages using these operations is a consequence of the equational theory of regular languages (in which parallel multiplication and iteration are undefined) plus that of the commutative-regular languages (in which sequential multiplication and iteration are undefined). We also show that the class of $ extit{rational}$ pomset languages (that is, those languages generated from singleton pomsets using the bi-Kleene operations) is closed under all Boolean operations. An $ extit{ideal}$ of a pomset $p$ is a pomset using the letters of $p$, but having an ordering at least as strict as $p$. A bi-Kleene term $t$ thus defines the set $ extbf{Id} (\mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] }) $ of ideals of pomsets in $ \mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] } $. We prove that if $t$ does not contain commutative iteration $^{(*)}$ (in our terminology, $t$ is bw-rational) then $ extbf{Id} (\mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] }) \cap extbf{Pom}_{sp}$, where $ extbf{Pom}_{sp}$ is the set of pomsets generated from singleton pomsets using sequential and parallel multiplication ($ \cdot$ and $ \parallel$) is defined by a bw-rational term, and if two such terms $t,t'$ define the same ideal language, then $t'=t$ is provable from the Kleene axioms for $0,1, +, \cdot\, ,^*$ plus the commutative idempotent semiring axioms for $0,1, +, \parallel$ plus the exchange law $ (u \parallel v)\cdot ( x \parallel y) \le v \cdot y \parallel u \cdot x $.

研究动机与目标

• 建立在双克莱尼运算下 pomset 语言的完备性定理。
• 证明 pomset 语言的等式理论可被正规语言和交换正规语言等式理论的组合完全捕捉。
• 证明有理 pomset 语言类在所有布尔运算下是封闭的。
• 研究 pomset 理想的结构及其通过 bw-有理项的表示。
• 证明在存在交换律和克莱尼公理的前提下，两个 bw-有理项的等式是可证明的。

提出的方法

• 本文将 pomsets 定义为有限、带标签的偏序集，推广了单词和交换单词的概念。
• 引入双克莱尼代数作为包含顺序和并行运算（包括顺序和并行迭代）的代数结构。
• 证明语言差 [[t]] − [[t′]] 是有理的，且通过结构归纳和项重写，可判定项的等式。
• 使用理想语言（Id(L)）来建模佩特里网中的可达性，并证明 Id([[t]]) ∩ Pomsp 可由 bw-有理项表示。
• 应用同余关系和正规项表示，将复杂的 pomset 项简化为等价的 bw-有理形式。
• 通过证明 pomset 理想中的等式蕴含可从克莱尼公理和交换律推导出，从而证明完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有使用双克莱尼运算的关于 pomset 语言的合法全称等式，是否均可从正规语言和交换正规语言的等式理论中推导出？
• RQ2 有理 pomset 语言类是否在所有布尔运算下封闭？
• RQ3 对于一个不包含并行迭代的 bw-有理项 t，其理想语言 Id([[t]]) ∩ Pomsp 是否可用一个 bw-有理项表示？
• RQ4 若 Id([[t]]) = Id([[t′]])，则两个 bw-有理项 t 和 t′ 的等式是否可在克莱尼公理和交换律下被证明？
• RQ5 由字母表上的单元素 pomset 生成的 pomset 理想代数是否自由生成于满足交换律的 bw-有理代数类中？

主要发现

• 对于任意双克莱尼项 t, t′，语言 [[t]] − [[t′]] 是有理的，且等式 [[t]] = [[t′]] 是可判定的。
• 若 [[t]] = [[t′]] 成立，则在每个双克莱尼代数中，t = t′ 是可证明的，从而确立了 pomset 语言代数的自由性。
• 有理 pomset 语言类在所有布尔运算下（包括补集运算）是封闭的。
• 对于不包含并行迭代的 bw-有理项，语言 Id([[t]]) ∩ Pomsp 可由一个 bw-有理项表示。
• 若 Id([[t]]) = Id([[t′]])，则两个 bw-有理项 t 和 t′ 的等式可在克莱尼公理和交换律下被证明。
• 由单元素 pomset 生成的 pomset 理想代数是满足交换律的自由 bw-有理代数。