[论文解读] Completions of µ-Algebras

Luigi Santocanale, Lif-Cmi Marseille|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文证明了非平凡的µ-代数准簇包含不可完成的成员，并针对自由模态µ-代数证明了一个类似Whitman的条件，从而能够构造出保持固定点交替层次中所有运算的MacNeille-Dedekind完成。此外，本文还表明最小前缀点满足构造性迭代公式 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥)，且在自由模态µ-代数中，模态算子表现为伴随映射。

ABSTRACT

A µ-algebra is a model of a first order theory that is an extension of the theory of bounded lattices, that comes with pairs of terms (f, µx.f) where µx.f is axiomatized as the least prefixed point of f, whose axioms are equations or equational implications. Standard µ-algebras are complete meaning that their lattice reduct is a complete lattice. We prove that any non trivial quasivariety of µ-algebras contains a µ-algebra that has no embedding into a complete µ-algebra. We focus then on modal µ-algebras, i.e. algebraic models of the propositional modal µ-calculus. We prove that free modal µ-algebras satisfy a condition – reminiscent of Whitman’s condition for free lattices – which allows us to prove that (i) modal operators are adjoints on free modal µ-algebras, (ii) least prefixed points of Σ1-operations satisfy the constructive relation µx.f = ∨ n≥0 fn (⊥). These properties imply the following statement: the MacNeille-Dedekind completion of a free modal µ-algebra is a complete modal µ-algebra and moreover the canonical embedding preserves all the operations in the class Comp(Σ1,Π1) of the fixed point alternation hierarchy.

研究动机与目标

• 探究所有µ-代数是否都能嵌入到完全µ-代数中。
• 确定与完备性及固定点构造相关的自由模态µ-代数的结构特性。
• 建立自由模态µ-代数的MacNeille-Dedekind完成生成完全模态µ-代数的条件。
• 分析自由模态µ-代数中模态算子和最小前缀点的行为。
• 验证典范嵌入是否保持固定点交替层次中Comp(Σ1,Π1)类的所有运算。

提出的方法

• 证明任何非平凡的µ-代数准簇都包含一个无法嵌入到完全µ-代数中的µ-代数。
• 为自由模态µ-代数引入一个类似Whitman的条件，从而能够分析其序理论性质。
• 证明自由模态µ-代数中的模态算子是伴随映射，暗示其具有强对偶性。
• 为Σ1-运算的最小前缀点建立构造性迭代公式 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥)。
• 将MacNeille-Dedekind完成构造应用于自由模态µ-代数，以获得完全模态µ-代数。
• 验证典范嵌入在固定点交替层次的Comp(Σ1,Π1)类中保持所有运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个µ-代数是否都能嵌入到完全µ-代数中，还是在非平凡准簇中存在不可完成的例子？
• RQ2 能否利用自由模态µ-代数的结构来构造保持所有运算的完全完成？
• RQ3 自由模态µ-代数中的模态算子是否表现为伴随映射，这对它们的序理论结构有何含义？
• RQ4 公式 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥) 是否对自由模态µ-代数中的最小前缀点成立？
• RQ5 自由模态µ-代数到其MacNeille完成的典范嵌入是否保持Comp(Σ1,Π1)类中的所有运算？

主要发现

• 任何非平凡的µ-代数准簇都包含一个无法嵌入到完全µ-代数中的µ-代数。
• 自由模态µ-代数满足一个类似Whitman的条件，从而能够分析其序结构和伴随性质。
• 自由模态µ-代数中的模态算子是伴随映射，反映出强对偶性和序理论的一致性。
• 任何Σ1-运算f的最小前缀点满足构造性迭代公式 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥)。
• 自由模态µ-代数的MacNeille-Dedekind完成生成一个完全模态µ-代数。
• 自由模态µ-代数到其MacNeille完成的典范嵌入保持了固定点交替层次中Comp(Σ1,Π1)类的所有运算。