[论文解读] Completions of mapping class groups and the cycle $C - C^-$

Richard Hain|ArXiv.org|Jul 23, 1992

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 48

一句话总结

该论文证明，当 $ g \geq 3 $ 时，扭结群的幂零完备化映射满射到映射类群相对完备化的拟幂零根，且当 $ g \geq 8 $ 时，其核同构于 $ \mathbb{Q} $。该结果通过研究三性亏格曲线雅可比簇中循环 $ C - C^{-} $ 的阿基米德高度配对的霍奇理论，将算术拓扑与模空间几何联系起来。

ABSTRACT

In this paper we study the proalgebraic completion of mapping class relative to their maps to the symplectic group. The main result is that the natural map from the unipotent (a.k.a. Malcev) completion of the Torelli group to the prounipotent radical of the Sp_g completion of the mapping class group is a non trivial central extension with kernel isomorphic to Q, at least when g \ge 8. The theorem is proved by relating the central extension to the line bundle associated to the archemidean height of the cycle C - C- in the Jacobian of the curve C. We also develop some of the basic theory of relative completions.

研究动机与目标

• 通过映射类群的相对马尔采夫完备化来理解扭结群幂零完备化的结构。
• 将扭结群的上同调性质与曲线模空间的几何联系起来。
• 利用霍奇理论不变量建立扭结群幂零完备化中的非平凡中心扩张。
• 将映射类群的相对完备化与三性亏格雅可比簇中代数循环 $ C - C^{-} $ 的阿基米德高度联系起来。

提出的方法

• 针对映射类群 $ \Gamma_{g,r}^n $ 的辛表示 $ \rho: \Gamma_{g,r}^n \to \mathrm{Sp}_g(\mathbb{Z}) $ 构造其相对完备化，得到一个代数群的提升，即由 $ \mathrm{Sp}_g $ 扩展出的拟代数群 $ \mathcal{G}_{g,r}^n $，其包含一个拟幂零群 $ \mathcal{U}_{g,r}^n $。
• 研究扭结群 $ T_{g,r}^n $ 到 $ \mathcal{U}_{g,r}^n $ 的诱导同态，并分析其幂零完备化 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $。
• 使用霍奇理论技术，将 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 的中心扩张与三性亏格曲线雅可比簇中循环 $ C - C^{-} $ 的阿基米德高度联系起来。
• 分析与高度配对相关的线丛 $ \mathcal{L} $ 及其在模空间 $ \mathcal{M}_3(l, \alpha, \delta) $ 上的拉回，计算其次数与陈类。
• 通过线丛 $ \delta^*\mathcal{L} $ 的推出计算 $ \pi_* (2\mathcal{H}_\Delta - 4\mathcal{H}_0) = 28 \cdot 35 \, \mathcal{H} $，其中 $ \mathcal{H} $ 为双曲模空间。
• 通过计算陈类 $ -9 \cdot 28 \cdot 35 \, c_1(N) $，证明 $ H^2(L(l); \mathbb{Q}) $ 中的扩张类非零，该类在 $ H^2(\mathcal{A}_3(l); \mathbb{Q}) $ 中非消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为映射类群相对完备化的商，扭结群幂零完备化的结构如何？
• RQ2 三性亏格曲线雅可比簇中循环 $ C - C^{-} $ 的阿基米德高度配对如何与扭结群的上同调不变量相关？
• RQ3 自然映射 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 的核是什么？何时同构于 $ \mathbb{Q} $？
• RQ4 能否通过模空间上的线丛检测到扭结群幂零完备化中非平凡中心扩张的存在性？
• RQ5 使得 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 的核同构于 $ \mathbb{Q} $ 的最小亏格 $ g $ 是多少？这与 $ H^2(\mathrm{Sp}_g(\mathbb{Z}), A) $ 中上同调消去的关系如何？

主要发现

• 当 $ g \geq 3 $ 时，自然同态 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 是满射，且其核包含在 $ \mathcal{T}_{g,r}^n $ 的中心内。
• 当 $ g \geq 8 $ 时，$ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 的核同构于 $ \mathbb{Q} $，从而确立了一个非平凡的中心扩张。
• 该中心扩张源于三性亏格曲线雅可比簇中循环 $ C - C^{-} $ 的阿基米德高度配对。
• 线丛 $ \mathcal{L} \otimes N^{\otimes (-9 \cdot 28 \cdot 35)} $ 在 $ \mathcal{M}_3(l, \alpha, \delta) $ 上拉回为平凡线丛，意味着存在一个 $ \mathbb{C}^* $-丛提升。
• $ H^2(L(l); \mathbb{Q}) $ 中的扩张类非零，因其由 $ -9 \cdot 28 \cdot 35 \, c_1(N) $ 表示，该类在 $ H^2(\mathcal{A}_3(l); \mathbb{Q}) $ 中非消失。
• $ H_1(T_3(\alpha, \delta); \mathbb{Q}) \to H_1(G_\mathbb{Z}; \mathbb{Q}) $ 的像是 $ V(\lambda_3) $ 的对角复制，且在极化上取括号的取值给出同构 $ \mathbb{Q} \to \Lambda^2 H_1(T_3; \mathbb{Q}) \to \mathbb{Q} $。