[论文解读] Complex analysis methods in noncommutative probability

Serban T. Belinschi|ArXiv.org|Feb 15, 2006

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 22

一句话总结

本文应用复分析技术——特别是上半平面中解析函数的次级关系与反演定理——研究非交换概率中的自由卷积与单调卷积。研究结果表明，两个概率测度的自由加法卷积具有严格正的局部解析密度，且在单调卷积下无限可分的测度可嵌入于一参数半群中，该结论通过Denjoy-Wolff不动点理论得以证明。

ABSTRACT

In this thesis we study convolutions that arise from noncommutative probability theory. We prove several regularity results for free convolutions, and for measures in partially defined one-parameter free convolution semigroups. We discuss connections between Boolean and free convolutions and, in the last chapter, we prove that any infinitely divisible probability measure with respect to monotonic additive or multiplicative convolution belongs to a one-parameter semigroup with respect to the corresponding convolution. Earlier versions of some of the results in this thesis have already been published, while some others have been submitted for publication. We have preserved almost entirely the specific format for PhD theses required by Indiana University. This adds several unnecessary pages to the document, but we wanted to preserve the specificity of the document as a PhD thesis at Indiana University.

研究动机与目标

• 研究非交换概率中自由加法卷积的正则性性质。
• 在较弱条件下，确定自由加法卷积的奇异连续部分是否消失。
• 建立包含任意给定概率测度的一参数自由卷积半群的存在性。
• 通过解析次级关系，探索自由与布尔无限可分性之间的联系。
• 证明在加法或乘法卷积下，单调无限可分测度属于一参数半群。

提出的方法

• 使用定义在上半平面上的解析函数的次级关系与反演定理。
• 应用Denjoy-Wolff不动点理论分析解析函数在迭代下的行为。
• 利用R-变换与F-变换（自由卷积变换）刻画自由卷积运算。
• 借助共形映射，如函数 $\mathcal{V}(z) = \frac{\theta(-z) - 1}{\theta(-z) + 1}$，将乘法单调卷积与单位圆盘上的复合半群联系起来。
• 建立 $F_{\mu_{2^{-j}}}(z)$ 在 $j \to -\infty$ 时唯一收敛于 $z$，从而确保半群结构。
• 利用函数方程 $\sigma(F_\mu(z)) = \sigma(z) + c$ 刻画半群生成元与可嵌入性。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个概率测度的自由加法卷积是否始终具有非零的绝对连续部分，且其密度为局部解析？
• RQ2 在何种条件下，自由加法卷积的奇异连续部分为零？
• RQ3 是否每个概率测度都可嵌入于一参数自由卷积半群中？
• RQ4 在次级关系的背景下，自由与布尔无限可分性之间是否存在结构性联系？
• RQ5 在加法或乘法卷积下，单调无限可分测度是否可嵌入于一参数半群？

主要发现

• 任意两个概率测度的自由加法卷积的绝对连续部分严格为正，且具有局部解析密度。
• 在略弱于完全支撑的假设下，自由加法卷积的奇异连续部分为零。
• 任意概率测度均属于一个部分定义的一参数自由卷积半群。
• 通过解析次级关系与Denjoy-Wolff定理，建立了自由与布尔无限可分性之间的联系。
• 在单调加法或乘法卷积下，所有无限可分测度均属于对应卷积的一参数半群。
• 乘法单调情形通过共形映射转化为单位圆盘，且根据Goryaĭnov与Cowen的结果，可保证其在复合半群中的嵌入。