[论文解读] Complex behaviour in cyclic competition bimatrix games

Cezary Olszowiec|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Game Theory and Applications参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文通過嚴謹的動力系統分析，重新審視具備完美記憶的循環競爭雙矩陣博弈（岩石-剪刀-布）；修正了先前文獻中關於混沌切換與穩定性的錯誤論斷。研究證明，在一般條件下，異宿網絡附近無限切換是不可能的，識別出四個具有不同動力行為的參數區域，並顯示循環的穩定性取決於參數值，而不僅僅是 $\epsilon_X + \epsilon_Y$ 的符號；此外，混沌行為可能透過超同宿軌道產生。

ABSTRACT

We consider an example of cyclic competition bimatrix game which is a Rock-Scissors-Paper game with assumption about perfect memory of the playing agents. At first we investigate the dynamics in the neighbourhood of the Nash equilibrium as well as the dynamics on the boundary of codimension 1 - that is when one of the strategies is not played by any agent. For the analysis of the asymptotic behaviour close to the boundary of state space, we provide the description of a naturally appearing heteroclinic network. Due to the symmetry, the heteroclinic network induces a quotient network. This quotient network is investigated as well. In the literature this model was already studied, but unfortunately the results stated there are invalid, as we will show in this paper. It turns out that certain types of behaviour are never possible or appear in the system only for some parameter values, contradicting what was stated before in the literature. Moreover, the parameter space (-1,1)x(-1,1) is divided into four regions where we observe either irregular behaviour, or preference to follow an itinerary consisting of strategies for which one or the other agent does not lose, or they alternate in winning. These regions in parameter space are separated by two analytical curves and lines where the game is either symmetric (system is not $C^1$ linearisable at stationary saddle points) or is zero-sum and the system is Hamiltonian. On each of these curves we observe different bifurcation scenarios: e.g. transition from order to chaos, or from one kind of stability to another kind, or just loss of one dimension of the local stable manifold of the subcycle.

研究动机与目标

• 修正先前對循環競爭雙矩陣博弈分析中的重大錯誤，特別是關於混沌切換與循環穩定性的論斷。
• 對具備完美記憶的岩石-剪刀-布博弈進行嚴謹的動力系統分析，專注於異宿網絡與轉移映射。
• 解決文獻中數值結果與異宿網絡附近解析行為之間的不一致。
• 釐清動力行為（特別是有限軌跡的可達性與穩定性）對參數 $\epsilon_X$ 與 $\epsilon_Y$ 的依賴關係。
• 識別混沌行為可能出現的條件，特別是透過循環穩定與不稳定流形的橫截相交。

提出的方法

• 構造由遊戲對稱性產生的完整異宿網絡，包含所有平衡點之間的轉移映射。
• 在局部坐標下計算轉移映射的線性部分，證明其為仿射映射，而非先前研究假設的恆等映射。
• 透過尺度變換與局部映射與轉移映射的複合，推導出類似先前（錯誤）表達式的近似式。
• 分析系統在對稱或零和曲線上的分岔，識別穩定類型的轉變與流形維度的喪失。
• 進行數值研究，與 Sato 等人的模擬結果比較，並探討異宿連接與超同宿軌道的存在性。
• 提出一個用於在開放參數區域中進行混沌的電腦輔助證明的框架，特別是在 $\beta$-曲線附近。

实验结果

研究问题

• RQ1 為何 Aguiar & Castro (2010) 論及異宿網絡附近存在無限切換的主張無效？何種條件會阻止這種現象？
• RQ2 異宿網絡中平衡點之間的轉移映射與先前研究假設的恆等映射有何差異？
• RQ3 循環 $C_0$、$C_1$ 與 $C_2$ 的真實穩定行為如何依賴於 $\epsilon_X$ 與 $\epsilon_Y$？
• RQ4 在何種參數條件下，可達成異宿軌道附近的有限軌跡？
• RQ5 哪些機制可能導致混沌動態？系統中是否存在超同宿軌道的證據？

主要发现

• 對於足夠小的 $h$，形式為 $tie \to win/loss \to loss/win \to tie$ 的有限軌跡不可達，與 Aguiar & Castro 的無限切換主張矛盾。
• 當 $\epsilon_X + \epsilon_Y < 0$ 時，循環 $C_0$ 為本質漸近穩定，修正了 Aguiar & Castro 論及的相對漸近穩定之說法。
• 在參數空間的某些開放區域中，循環 $C_1$ 與 $C_2$ 既非近乎完全不穩定，亦非本質漸近穩定，而是吸引開集的初始條件。
• 參數空間 $(-1,1)^2$ 被分為四個區域，各自具有不同的動力行為：不規則運動、偏好非輸出軌跡，或勝利交替。
• 混沌可能透過循環 $C_0$ 與 $C_2$ 的穩定與不穩定流形的橫截相交而產生，可能在參數空間中形成三維集合。
• 數值證據顯示，在白與黃區域之間的分岔曲線附近，$C_2$ 與 $C_0$ 存在前向與後向異宿連接，支持混沌切換的潛在存在。