[论文解读] Complex Brunn-Minkowski theory and positivity of vector bundles

Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文通过证明在度量具有半正曲率条件时，全纯映射纤维上全纯截面的 $L^2$-范数构成一个具有非负曲率的向量丛，建立了复分析几何中 Brunn-Minkowski 与 Prékopa 定理的复解析类比。关键结果是，经过乘子理想扭曲的典范丛的直接像层配备了一个非负曲率的奇异度量，从而导出弱正性，并应用于阿贝尔簇上的 Iitaka 猜想。

ABSTRACT

This is a survey of results on positivity of vector bundles, inspired by the Brunn-Minkowski and Prékopa theorems. Applications to complex analysis, Kähler geometry and algebraic geometry are also discussed.

研究动机与目标

• 通过 $\bar{\partial}$-算子的 $L^2$-估计，将实凸几何中的 Brunn-Minkowski 与 Prékopa 定理推广至复几何。
• 建立作为带奇异度量的典范丛直接像的向量丛与相干层的正性。
• 为 Viehweg 理论背景下的层的弱正性提供解析准则。
• 利用曲率正性证明阿贝尓簇为底空间的纤维化中的 Iitaka 猜想。

提出的方法

• 将 Hörmander 的 $L^2$-估计用于 $\bar{\partial}$-算子，作为 Brascamp-Lieb 不等式的复几何类比。
• 通过在纤维上对 $|h|^2 e^{-\phi}$ 积分来定义直接像层上的 $L^2$-度量，其中 $\phi$ 是拟凸函数。
• 通过在余维数至少为二的集合上对拟凸函数范数的延拓，引入相干层上的奇异度量。
• 应用曲率正性准则：若任意全纯截面的对数范数是拟凸函数，则该度量为非负曲率。
• 利用 Grauert 的凝聚性定理及拟凸函数的延拓定理，定义层 $\mathcal{E} = p_*(K_{X/Y} + L) \otimes \mathcal{I}(\phi)$ 上的度量。
• 利用拟凸函数的延拓性质，证明直接像上的 $L^2$-度量可延拓为相干层 $\mathcal{E}$ 上的非负曲率奇异度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $\bar{\partial}$-算子的 $L^2$-估计，将实凸几何中的 Prékopa–Brascamp–Lieb 不等式推广至复几何？
• RQ2 在纤维化上，当典范丛配备奇异度量时，其直接像在何种条件下可赋予非负曲率度量？
• RQ3 此类直接像层的曲率正性与 Viehweg 理论中弱正性的代数概念有何关联？
• RQ4 能否利用直接像的解析正性证明阿贝尓簇为底空间的纤维化中的 Iitaka 猜想？

主要发现

• 直接像丛 $E = p_*((K_{X/Y} + L) \otimes \mathcal{I}(\phi))$ 上的 $L^2$-度量可延拓为相干层 $\mathcal{E}$ 上的非负曲率奇异度量。
• 由于其非负曲率奇异度量，层 $\mathcal{E}$ 在 Viehweg 意义下是弱正的。
• 曲率正性结果推广了 Prékopa 定理：当度量光滑且乘子理想平凡时，全纯截面的 $L^2$-范数定义了一个拟凸函数，与实情形一致。
• 该方法适用于阿贝尓簇为底空间的纤维化，从而得到总空间与一般纤维的 Kodaira 维数满足 $\kappa(X) \geq \kappa(F)$ 的不等式。
• 证明依赖于对余维数至少为二的子簇上拟凸函数的延拓，从而实现了对相干层上奇异度量的曲率定义。
• 该结果为弱正性提供了一般性的解析框架，统一了复几何中解析与代数正性概念。