[论文解读] Complex Curves in Almost-Complex Manifolds and Meromorphic Hulls

Sergei Ivashkovich, Vsevolod Shevchishin|ArXiv.org|Dec 6, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 44被引用 18

一句话总结

本文建立了几乎复流形中伪全纯曲线的基础结果，并证明了在C²中严格强伪凸区域上，全纯圆盘附着的刚性结果。通过使用Gromov紧致性、Fredholm理论，以及Seiberg-Witten不变量和爆破技巧，证明了：在区域内部不存在任何光滑圆盘，其边界与从外部附着的全纯圆盘相同——从而证明了Vitushkin猜想。关键贡献在于，通过爆破后利用陈类与自交数不变量，建立了拓扑障碍。

ABSTRACT

This are the notes of a course, given by the first author for the Graduiertenkollegs (=graduate students) at the Ruhr-University Bochum, in December 1997. These lectures pursued two main tasks: FIRST - to give a systematic and self-contained introduction to the Gromov theory of pseudoholomorphic curves. This is done in Chapters I,II,III. SECOND - to explain our join results on envelopes of meromorphy of real surfaces in complex two-dimensional manifolds. We do this in Chapter IV.

研究动机与目标

• 解决在复2-流形中实2-球面的全纯包络构造这一全局问题。
• 建立在C²中严格强伪凸区域内部，不存在与从外部附着的全纯圆盘具有相同边界的光滑圆盘的非存在性，从而解决Vitushkin猜想。
• 通过使用Gromov的伪全纯曲线理论与Seiberg-Witten不变量，建立分析全纯包络与全纯圆盘附着的框架。
• 通过分析爆破后的自交数与陈类不变量，提供附着全纯圆盘到严格强伪凸区域的拓扑障碍。
• 通过对数凸性与爆破技术推广Stein邻域的构造，以解决粘合区域中的非Stein性问题。

提出的方法

• 应用Gromov紧致性定理与先验估计，以控制几乎复流形中伪全纯曲线的行为。
• 利用∂J-算子的Fredholm理论与模空间分析，研究J-曲线的形变与横截性。
• 通过在原点进行爆破并使用对数坐标，构造附着于严格强伪凸区域的全纯圆盘的Stein邻域，以实现对数凸性。
• 利用Seiberg-Witten不变量与亏格估计推导拓扑障碍：即爆破后球面的正规提升的自交数必须满足 |c₁·S̃| ≥ S̃²。
• 应用Takeuchi准则，得出爆破后的区域为Stein区域，从而保证全纯凸性。
• 通过反演变换与微分同胚，将一般情形约化为标准模型，从而证明不存在边界光滑圆盘。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否存在一个从外部附着于C²中严格强伪凸区域的全纯圆盘，其边界被区域内部的一个光滑嵌入圆盘所包围？
• RQ2 何种拓扑或几何障碍会阻止此类光滑边界圆盘的存在？
• RQ3 Seiberg-Witten不变量与陈类计算如何约束Stein曲面上全纯圆盘的存在性？
• RQ4 即使原始区域非Stein，是否仍可构造附着于严格强伪凸区域的全纯圆盘的Stein邻域？
• RQ5 在圆盘原点处的爆破过程是否能恢复全纯凸性？若能，这如何影响正规提升的自交数与第一陈类？

主要发现

• 在满足H²(X,ℝ) = 0的Stein曲面X中，附着于严格强伪凸区域的全纯圆盘的边界，无法作为任何光滑嵌入圆盘在区域内部的边界。
• 在圆盘上某点进行n次爆破后，由圆盘与其边界圆盘并集构成的球面的正规提升的自交数为 ˜S² = −n，且 |c₁(˜X)·˜S| = n，与Seiberg-Witten理论的亏格估计矛盾。
• 在C²中对原点进行爆破，可将全纯圆盘的邻域转化为对数凸区域，因而为Stein区域，从而可通过爆破与对数坐标构造Stein邻域。
• 通过爆破与对数坐标构造Stein邻域，解决了圆盘与其套管并集区域的非Stein性问题，使该区域成为全纯凸区域。
• Vitushkin猜想得证：在与球面微分同胚的C²中严格强伪凸区域上，不可能从外部附着全纯圆盘，因为此类附着将导致爆破后拓扑不变量的矛盾。
• 通过微分同胚与反演将结果约化为标准模型，表明若存在边界光滑圆盘，则将导致陈类与自交数不变量的矛盾。