[论文解读] Complex dynamical properties of coupled Van der Pol-Duffing oscillators with balanced loss and gain

Puspendu Roy, Pijush K. Ghosh|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2021

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 41被引用 8

一句话总结

本文研究了具有平衡损耗与增益的耦合范德波尔-杜芬振子系统，采用重整化群（RG）和多尺度分析（MSA）推导出可解析求解的慢变方程。研究结果表明，哈密顿与非哈密顿变体均表现出周期性与混沌动力学，证实了在无需PT对称性的情况下，具有平衡损耗与增益的系统中亦可出现哈密顿混沌。

ABSTRACT

We consider a Hamiltonian system of coupled Van der Pol-Duffing(VdPD) oscillators with balanced loss and gain. The system is analyzed perturbatively by using Renormalization Group(RG) techniques as well as Multiple Scale Analysis(MSA). Both the methods produce identical results in the leading order of the perturbation. The RG flow equation is exactly solvable and the slow variation of amplitudes and phases in time can be computed analytically. The system is analyzed numerically and shown to admit periodic solutions in regions of parameter-space, confirming the results of the linear stability analysis and perturbation methods. The complex dynamical behavior of the system is studied in detail by using time-series, Poincar$\acute{e}$-sections, power-spectra, auto-correlation function and bifurcation diagrams. The Lyapunov exponents are computed numerically. The numerical analysis reveals chaotic behaviour in the system beyond a critical value of the parameter that couples the two VdPD oscillators through linear coupling, thereby providing yet another example of Hamiltonian chaos in a system with balanced loss and gain. Further, we modify the nonlinear terms of the model to make it a non-Hamiltonian system of coupled VdPD oscillators with balanced loss and gain. The non-Hamiltonian system is analyzed perturbativly as well as numerically and shown to posses regular periodic as well as chaotic solutions. It is seen that the ${\cal{PT}}$-symmetry is not an essential requirement for the existence of regular periodic solutions in both the Hamiltonian as well as non-Hamiltonian systems.

研究动机与目标

• 研究具有平衡损耗与增益的耦合范德波尔-杜芬振子系统中的复杂动力学行为。
• 探究PT对称性是否为该类系统中存在规则周期解的必要条件。
• 分析哈密顿与非哈密顿模型在具有平衡损耗与增益时混沌行为的产生机制。
• 比较解析摄动方法（RG与MSA）与数值模拟结果以进行验证。
• 探讨非线性耦合与线性耦合强度在诱发混沌行为中的作用。

提出的方法

• 采用重整化群（RG）与多尺度分析（MSA）对耦合VdPD振子系统进行摄动分析。
• 推导出描述慢幅值与相位演化之RG流方程的精确解析解。
• 开展数值模拟以验证解析结果并探索长期动力学行为。
• 利用时间序列、庞加莱截面、功率谱、自相关函数及分岔图来表征系统行为。
• 数值计算李雅普诺夫指数以量化混沌程度及对初值的敏感性。
• 修改非线性项，构建具有平衡损耗与增益的非哈密顿系统版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有平衡损耗与增益的哈密顿系统是否可在无PT对称性条件下表现出混沌动力学？
• RQ2 PT对称性是否为该类系统中规则周期解存在的必要条件？
• RQ3 RG与MSA方法在预测耦合VdPD振子系统慢变动力学方面表现如何比较？
• RQ4 线性耦合强度在触发混沌出现过程中起何种作用？
• RQ5 引入非线性耦合如何影响系统从规则运动向混沌行为的转变？

主要发现

• 耦合VdPD振子系统的RG流方程是精确可解的，可实现对慢幅值与相位演化过程的解析计算。
• 数值模拟结果证实，在PT对称与非PT对称参数区域中均存在周期解，表明PT对称性并非规则动力学的必要条件。
• 当线性耦合参数超过某一临界值时，混沌行为出现，该结论得到正李雅普诺夫指数与复杂庞加莱截面的验证。
• 系统在无外部驱动条件下表现出哈密顿混沌，其与反阻尼振子的耦合充当了内部能量源。
• 通过修改非线性项构建的非哈密顿版本系统同样支持规则周期解与混沌解，进一步证实了混沌行为在无PT对称性条件下的鲁棒性。
• 分岔图与功率谱揭示了从周期运动到混沌运动的转变过程，混沌状态下表现出独特的谱特征。