[论文解读] Complex fuzzy Lie Algebras

Shadi Shaqaqha|arXiv (Cornell University)|May 5, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文引入了复模糊李代数，其中隶属函数取值于复平面上的单位圆。定义了复模糊子代数与理想，研究其在李代数同态下的性质，并证明在满同态下，复模糊子代数与理想的像与逆像均被保持，从而将模糊李代数理论扩展至复模糊设定。

ABSTRACT

A complex fuzzy Lie algebra is a fuzzy Lie algebra whose membership function takes values in the unit circle in the complex plane. In this paper, we deine the complex fuzzy Lie subalgebras and complex fuzzy ideals of Lie algebras. Then, we investigate some of characteristics of complex fuzzy Lie subalgebras. The relationship between complex fuzzy Lie subalgebras and fuzzy Lie subalgebras is also investigated. Finally, we define the image and the inverse image of complex fuzzy Lie subalgebra under Lie algebra homomorphism. The properties of complex fuzzy Lie subalgebras and complex fuzzy ideals under homomorphisms of Lie algebras are studied.

研究动机与目标

• 通过定义复模糊李子代数与理想，将模糊李代数理论推广至复模糊设定。
• 研究复模糊李子代数的结构性质及其与传统模糊李子代数的关系。
• 研究复模糊子代数与理想在李代数同态下的行为，特别是通过像与逆像构造。
• 将模糊李代数的结果推广至复模糊情形，确保与现有模糊理论的一致性。

提出的方法

• 定义隶属值为复平面上单位圆上复数的复模糊集，表示为 $ r(x)e^{iw(x)} $，其中 $ r(x) \in [0,1] $，$ w(x) \in [0,2\pi] $。
• 引入复模糊集的齐次性概念，要求当且仅当 $ w(x) \leq w(y) $ 时，有 $ r(x) \leq r(y) $。
• 通过要求隶属函数在实部与虚部上满足模糊子代数与理想条件，定义复模糊李子代数与理想。
• 利用 $ \pi $-模糊集变换 $ \gamma_A(x) = 2\pi \mu_A(x) $，将复模糊结构与经典模糊集联系起来。
• 证明在满李代数同态下，复模糊子代数（理想）的像是复模糊子代数（理想）。
• 建立同态下水平集 $ B_{\alpha,\beta} $ 的逆像与预像复模糊集的对应水平集之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将模糊李代数的概念推广，以包含取值于单位圆上的复隶属函数？
• RQ2 在何种条件下，复模糊李子代数在李代数同态下的像仍为复模糊子代数？
• RQ3 复模糊子代数与理想在李代数同态下的逆像行为如何？
• RQ4 复模糊李子代数与其对应的 $ \pi $-模糊表示之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下，两个复模糊理想的和在满同态下保持不变？

主要发现

• 在满李代数同态下，复模糊李子代数的像是复模糊李子代数。
• 在满李代数同态下，复模糊理想的像是复模糊理想。
• 在李代数同态下，复模糊子代数（理想）的水平集 $ B_{\alpha,\beta} $ 的逆像等于预像复模糊集的对应水平集。
• 对 $ B_{\alpha^{>},\beta} $、$ B_{\alpha,\beta^{>}} $ 与 $ B_{\alpha^{>},\beta^{>}} $ 的逆像，恰好对应于预像复模糊集的相应水平集。
• 在满同态下，若 $ A $ 与 $ B $ 均为齐次复模糊理想，则其和满足 $ \varphi(A+B) = \varphi(A) + \varphi(B) $。
• $ \pi $-模糊变换保持模糊子代数与理想结构，从而实现复模糊与经典模糊李代数框架之间的转换。