[论文解读] Complex geodesics and complex Monge-Ampère equations with boundary singularity

Jimmy Xiangji Huang, Xieping Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用 4

一句话总结

本论文在边界为$C^3$光滑的有界强线性凸域中，确立了复测地线的唯一性，即使在最小正则性假设下亦成立。基于此唯一性结果与Lempert的存在性结果，作者构造了一个全纯复Poisson核，该核解一个具有预设边界奇点的齐次复Monge-Ampère方程，从而将经典Poisson核推广至高维空间。

ABSTRACT

We study complex geodesics and complex Monge-Ampère equations on bounded strongly linearly convex domains in $\mathbb C^n$. More specifically, we prove the uniqueness of complex geodesics with prescribed boundary value and direction in such a domain, when its boundary is of minimal regularity. The existence of such complex geodesics was proved by the first author in the early 1990s, but the uniqueness was left open. Based on the existence and the uniqueness proved here, as well as other previously obtained results, we solve a homogeneous complex Monge-Ampère equation with prescribed boundary singularity, which was first considered by Bracci et al. on smoothly bounded strongly convex domains in $\mathbb C^n$.

研究动机与目标

• 解决有界强线性凸域中复测地线唯一性这一长期悬而未决的公开问题，且在边界正则性仅为$C^3$的最小假设下成立。
• 将复测地线理论从$C^{m,\alpha}$光滑性推广至仅具有$C^3$边界的域，确保构造的鲁棒性。
• 应用唯一性结果求解一个具有预设边界奇点的齐次复Monge-Ampère方程，推广经典Poisson核。
• 通过Busemann函数与边界导数建立全纯复Poisson核与全纯复Green函数之间的联系。
• 证明在更强光滑性假设下，所构造的解与已有文献中的解一致，验证其与先前工作的兼容性。

提出的方法

• 利用形变技巧与Kobayashi-Royden度量，证明在$C^3$强线性凸域中复测地线的边界唯一性结果。
• 借助唯一性结果，从固定边界点出发构造复测地线的叶状结构。
• 将全纯复Poisson核$P_{\Omega,p}$定义为齐次复Monge-Ampère方程$\mathrm{MA}(u) = 0$的解，且在$p \in \partial\Omega$处具有预设奇点。
• 利用复测地线$\varphi$的对偶映射$\varphi^*$，通过内积$\langle \varphi', \overline{\varphi^*} \rangle = 1$推导解的边界行为。
• 建立恒等式$P_{\Omega,p} \circ \varphi_v = -P / \langle v, \nu_p \rangle^2$对所有$v \in L_p$成立，将解与测地线动力学联系起来。
• 通过Busemann函数与导数$\partial g_\Omega / \partial \nu_p$将解与全纯复Green函数关联，证明$P_{\Omega,p}(z,p) = -\partial g_\Omega / \partial \nu_p(z,p)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有$C^3$边界的有界强线性凸域中，给定边界值与方向的复测地线是否唯一？
• RQ2 复测地线的唯一性是否可在超出$C^{m,\alpha}$光滑性的最小正则性假设下建立？
• RQ3 复测地线的存在性与唯一性是否允许构造一个具有预设边界奇点的齐次复Monge-Ampère方程的解？
• RQ4 所构造的全纯复Poisson核与单位圆盘中的经典Poisson核有何关系？
• RQ5 解$P_{\Omega,p}$是否与文献中已知解（如Bracci-Patrizio或BPT所构造的解）一致？

主要发现

• 在具有$C^3$边界的有界强线性凸域中，给定边界点与方向的复测地线被唯一确定。
• 通过复测地线的叶状结构，构造了具有预设奇点的齐次复Monge-Ampère方程的解$P_{\Omega,p}$。
• 所构造的解满足对所有$v \in L_p$有$P_{\Omega,p} \circ \varphi_v = -P / \langle v, \nu_p \rangle^2$，其中$\varphi_v$为优选复测地线。
• 当域为$C^\infty$光滑且强凸时，该解与Bracci-Patrizio所构造的解一致。
• 解满足$P_{\Omega}(z,p) = -\partial g_\Omega / \partial \nu_p(z,p)$，从而将其与全纯复Green函数及Busemann函数联系起来。
• 具有$C^3$边界的强线性凸域的拟势紧化边界与欧氏边界同胚，将Poletsky的结果推广至正则性更低的域。