[论文解读] Complex Hadamard matrices and the Spectral Set Conjecture

Mihail N. Kolountzakis, Máté Matolcsi|RACO (Revistes Catalanes amb Accés Obert) (Consorci de Serveis Universitaris de Catalunya)|Nov 23, 2004

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 147

一句话总结

本文建立了有限阿贝尔群中大小不超过5的集合的谱集猜想中 '谱 ⇒ 瓷砖' 方向的证明，将结果推广至 ℤᵈ 和 ℝᵈ。此外，本文构造了一个在 ℤ₈³ 中的6元素谱集，该集合无法瓷砖化，证明了在三维情况下该猜想不成立，并表明在循环群中判断谱性或瓷砖化的决策问题是 NP-完全的。

ABSTRACT

By analyzing the connection between complex Hadamard matrices and spectral sets we prove the direction ``spectral -> tile'' of the Sectral Set Conjecture for all sets A of size at most 5 in any finite Abelian group. This result is then extended to the infinite grid $\Z^d$ for any dimension d, and finally to Euclidean space. It was pointed out recently by Tao that the corresponding statement fails for |A|=6 in the group $\Z_3^5$, and this observation quickly led to the failure of the Spectral Set Conjecture in $\R^5$ (Tao), and subsequently in $\R^4$ (Matolcsi). In the second part of this note we reduce this dimension further, showing that the direction ``spectral -> tile'' of the Spectral Set Conjecture is false already in dimension 3. In a computational search for counterexamples in lower dimension (one and two) one needs, at the very least, to be able to decide efficiently if a set is a tile (in, say, a cyclic group) and if it is spectral. Such efficient procedures are lacking however and we make a few comments for the computational complexity of some related problems.

研究动机与目标

• 证明在任意有限阿贝尔群中，大小不超过5的集合的 '谱 ⇒ 瓷砖' 方向的谱集猜想。
• 将该结果推广至无限格点 ℤᵈ 和欧几里得空间 ℝᵈ。
• 在三维空间中构造一个反例，以证明 '谱 ⇒ 瓷砖' 方向在该维度不成立，从而将已知的失败维度从4降低至3。
• 分析在有限循环群中判断集合是否为谱集或瓷砖的计算复杂度。
• 证明在循环群中判断谱性和瓷砖性的决策问题是 NP-完全的。

提出的方法

• 利用复 Hadamard 矩阵与谱集之间的联系，分析小规模谱集。
• 利用对阶数至多为5的复 Hadamard 矩阵的完整分类，证明在有限阿贝尔群中任意大小 ≤5 的谱集必定能瓷砖化。
• 通过利用谱性和瓷砖性在子群下保持不变的性质，将问题约化为 ℤₙᵈ 形式的群。
• 利用复 Hadamard 矩阵的性质和特征正交性，构造了一个在 ℤ₈³ 中的6元素谱集，该集合无法瓷砖化。
• 将独立集问题约化至决策问题 DIFF’，以证明谱性和瓷砖性检测的 NP-完全性。
• 通过从最大独立集问题到决策问题 DIFF’ 的多项式时间约化，证明了问题 DIFF’ 是 NP-完全的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意有限阿贝尔群中，所有大小不超过5的谱集是否都能瓷砖化？
• RQ2 谱集猜想中的 '谱 ⇒ 瓷砖' 方向能否从有限群推广至 ℤᵈ 和 ℝᵈ？
• RQ3 是否存在一个在三维空间中不能瓷砖化的谱集，从而在该维度上使猜想失效？
• RQ4 判断循环群子集是否为谱集或瓷砖的计算复杂度是多少？
• RQ5 在循环群中判断谱性和瓷砖性的决策问题是否为 NP-完全？

主要发现

• 在任意有限阿贝尔群中，谱集猜想的 '谱 ⇒ 瓷砖' 方向对所有大小不超过5的集合均成立。
• 该结果可推广至大小 ≤5 的 ℤᵈ 和 ℝᵈ 中的集合。
• 在 ℤ₈³ 中构造了一个6元素谱集，该集合无法瓷砖化，证明了在三维情况下 '谱 ⇒ 瓷砖' 方向不成立。
• 利用 ℤ₈³ 中的反例，进一步构造了 ℝ³ 中的反例，将猜想失效的最小维度从4降低至3。
• 证明了决策问题 DIFF’（即判断是否存在一个 k 元子集 A ⊆ E 满足 A−A ⊆ D）是 NP-完全的。
• 因此，在循环群中判断集合是否为谱集或瓷砖的决策问题是 NP-完全的，意味着目前尚无已知的多项式时间算法可解决这些问题。