[论文解读] Complex Hyperbolic Structures on Disc Bundles over Surfaces. II. Example of a Trivial Bundle

Sasha Anan’in, Nikolay Gusevskii|ArXiv.org|Dec 17, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文在亏格为2的曲面的平凡圆盘丛上构造了一个复杂的双曲结构，解决了复双曲几何中长期存在的一个开放问题。通过在复双曲平面中由三个复反射生成的离散群，作者利用横截平分面构造基本多面体，得出非整数的托莱多不变量，并验证了关系式 $2(\chi + e) = 3\tau$，该关系式是全纯截面存在的必要条件。

ABSTRACT

This article is based on the methods developed in [AGG]. We construct a complex hyperbolic structure on a trivial disc bundle over a closed orientable surface $Σ$ (of genus 2) thus solving a long standing problem in complex hyperbolic geometry (see [Gol1, p. 583] and [Sch, p. 14]). This example answers also [Eli, Open Question 8.1] if a trivial circle bundle over a closed surface of genus >1 admits a holomorphically fillable contact structure. The constructed example M satisfies the relation $2(χ+e)=3τ$ which is necessary for the existence of a holomorphic section of the bundle, where $χ=χΣ$ stands for the Euler characteristic of $Σ$, e=eM, for the Euler number of the bundle, and $τ$, for the Toledo invariant. (The relation is also valid for the series of examples constructed in [AGG].) Open question: Does there exist a holomorphic section of the bundle M?

研究动机与目标

• 解决关于亏格 >1 的闭可定向曲面的平凡圆盘丛是否可赋予复双曲结构的开放问题。
• 在亏格为2的曲面上的平凡丛上构造此类结构的具体例子。
• 验证所构造例子的拓扑不变量关系 $2(\chi + e) = 3\tau$，该关系是全纯截面存在的必要条件。
• 研究所构造的复双曲圆盘丛中全纯截面的存在性，如 [AGG] 和 [Eli, 开放问题 8.1] 所提出。

提出的方法

• 在复双曲平面 $\mathbb{H}_{\mathbb{C}}^2$ 中构造由三个复反射 $R_1, R_2, R_3$ 生成的离散群 $T$，其中 $R_1, R_2$ 为点反射，$R_3$ 为实平面上的反射。
• 施加关系 $(R_3 R_1 R_2 R_3 R_2 R_1)^2 = 1$，以定义 $\mathrm{SU}(2,1)$ 的离散子群，该子群在 $\mathbb{H}_{\mathbb{C}}^2$ 上作用正规离散。
• 利用具有公共截面的横截三角形平分面，构造群 $T$ 的基本多面体，通过 [AGG] 中的方法确保离散性。
• 采用特定的 $\mathbb{C}$-基 $p_1, p_2, p_3 \in V$，其参数 $t, t_1, t_2$ 满足 $t^2 + t_1^2 + t_2^2 - t t_1 t_2 > 1$，以确保所需测地线和平分面的存在。
• 应用几何准则如准则 I.2.5.4 和引理 I.5.4.3，以验证平分面三角形 $\Delta(C_1, C_2, C_3)$ 的横截性、方向性和椭圆性。
• 验证复内积实部的正性条件，以确保角度 $\beta_i$ 属于 $(0, \pi/2)$，从而得出 $\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 < \pi$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个复双曲结构，使得其定义在亏格为2的闭可定向曲面的平凡圆盘丛上？
• RQ2 对于具有非整数托莱多不变量的复双曲圆盘丛，关系式 $2(\chi + e) = 3\tau$ 是否可被满足？
• RQ3 所构造例子的托莱多不变量是否为非整数，从而暗示全纯截面的缺失？
• RQ4 所构造的例子是否满足全纯截面存在的必要拓扑条件？
• RQ5 由 $\mathrm{SU}(2,1)$ 中三个复反射生成的离散群，是否可产生一个纤维化于曲面上的有限体积复双曲流形？

主要发现

• 本文在亏格为2的曲面的平凡圆盘丛上构造了复双曲结构，解决了复双曲几何中长期存在的一个开放问题。
• 所构造的例子满足关系式 $2(\chi + e) = 3\tau$，其中 $\chi = -2$，$e = 0$，$\tau$ 为非整数，确认了全纯截面存在的必要条件。
• 托莱多不变量 $\tau$ 为非整数，由 $(R_3 R_1 R_2 R_3 R_2 R_1)^2 \neq 1$ 在 $\mathrm{SU}(2,1)$ 中成立，表明该表示非整数。
• 当 $t = 2.22$ 时，参数 $t_1 = 2.23$，$t_2 = 3.22$ 满足所有所需不等式：(3) 得 4.33，(4) 得 1.44 和 1.56，(5) 得 1.86，(6) 得 $-7.63 - i \cdot 4.41$ 的内积，(7) 和 (8) 分别得正实部和 248.24。
• 平分面三角形 $\Delta(C_1, C_2, C_3)$ 是横截的，方向为逆时针，且为椭圆型，所有角度 $\beta_i \in (0, \pi/2)$ 且总和 $< \pi$，确认该几何构型适合作为基本域。
• 存在一个非零的零化向量 $w_3$ 满足所需不等式，证实了构造的几何一致性以及群作用的非退化性。