[论文解读] Complex instruction set computing architecture for performing accurate quantum $Z$ rotations with less magic

Andrew J. Landahl, Chris Cesare|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 49被引用 26

一句话总结

本文提出了一种用于容错量子计算的复杂指令集计算（CISC）架构，通过直接制备 $Z(\pi/2^k)$ 门的魔术态，实现了对 $Z$-旋转的精确实现，其中 $2 \leq k \leq k_{\text{max}}$。利用长度为 $2^{k+2}-1$ 的缩短量子 Reed-Muller 码，该方法实现了这些旋转的跨距实现，且魔术态蒸馏阈值超过 0.85%（当 $k \leq 6$ 时），与标准 RISC 方法相比显著降低了资源开销。

ABSTRACT

We present quantum protocols for executing arbitrarily accurate $π/2^k$ rotations of a qubit about its $Z$ axis. Reduced instruction set computing ( extsc{risc}) architectures typically restrict the instruction set to stabilizer operations and a single non-stabilizer operation, such as preparation of a "magic" state from which $T = Z(π/4)$ gates can be teleported. Although the overhead required to distill high-fidelity copies of this magic state is high, the subsequent quantum compiling overhead to realize $Z$ rotations in a extsc{risc} architecture can be much greater. We develop a complex instruction set computing ( extsc{cisc}) architecture whose instruction set includes stabilizer operations and preparation of magic states from which $Z(π/2^k)$ gates can be teleported, for $2 \leq k \leq k_{ ext{max}}$. This results in a substantial overall reduction in the number of gates required to achieve a desired gate accuracy for $Z$ rotations. The key to our construction is a family of shortened quantum Reed-Muller codes of length $2^{k+2}-1$, whose magic-state distillation threshold shrinks with $k$ but is greater than 0.85% for $k \leq 6$.

研究动机与目标

• 降低在容错量子计算中实现任意精度 $Z$-旋转所需的资源开销。
• 克服依赖于为 $T = Z(\pi/4)$ 门蒸馏单个魔术态的精简指令集计算（RISC）架构中较高的量子编译开销。
• 开发一种复杂指令集计算（CISC）架构，通过专用魔术态制备直接支持多个 $Z(\pi/2^k)$ 门。
• 识别能够通过广义正交性条件实现 $Z(\pi/2^k)$ 旋转跨距实现的量子码。
• 证明缩短的 $\overline{RM}(1,k+2)$ 码支持 $2^{k+1}$ 可除性，从而实现高蒸馏阈值下的精确 $Z$-旋转。

提出的方法

• 该架构通过在 RISC 基础上增加对 $Z(\pi/2^k)$ 门魔术态的制备（$2 \leq k \leq k_{\text{max}}$），取代仅依赖 $T = Z(\pi/4)$ 的方式，实现扩展。
• 采用长度为 $2^{k+2}-1$ 的缩短量子 Reed-Muller 码作为逻辑量子比特的底层量子码。
• 利用从 $2^{k+1}$ 可除经典码的 Ward 可除性测试推导出的广义 $k$-正交性条件，实现跨距的 $Z_k$ 操作。
• 该条件要求：对于所有 $1 \leq j \leq k+1$，$H^X$ 生成矩阵任意 $j$ 行的逐元素乘积的汉明权重必须能被 $2^{k+2-j}$ 整除。
• 当码的 $H^X$ 矩阵满足该条件且 $n \equiv a \bmod 2^{k+1}$ 时，逻辑 $Z_k^a$ 门可实现跨距操作。
• 该方法利用了码的行空间具有 $2^{k+1}$ 可除性，从而确保跨距 $Z_k$ 操作的相位累积与期望旋转一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种直接支持多个 $Z(\pi/2^k)$ 门的 CISC 架构是否能相比 RISC 架构降低量子编译的资源成本？
• RQ2 何种量子码结构可实现对任意 $k$ 的 $Z(\pi/2^k)$ 旋转的跨距实现？
• RQ3 使用缩短的 Reed-Muller 码时，基于 $Z(\pi/2^k)$ 的协议的魔术态蒸馏阈值是多少？
• RQ4 广义的 $k$-正交性条件如何扩展先前工作中使用的三正交性条件？
• RQ5 能否高效地构造和验证用于量子纠错的 $2^{k+1}$ 可除经典码？

主要发现

• 所提出的 CISC 架构通过直接制备 $Z(\pi/2^k)$ 门的魔术态，而非依赖 $T$-门量子隐形传态，显著降低了实现精确 $Z$-旋转的资源开销。
• 当 $H^X$ 生成矩阵满足由 Ward 可除性测试推导出的 $k$-正交性条件时，长度为 $2^{k+2}-1$ 的缩短 $\overline{RM}(1,k+2)$ 码可实现 $Z(\pi/2^k)$ 旋转的跨距操作。
• 对于 $k \leq 6$，这些码的魔术态蒸馏阈值超过 0.85%，表明具有较高的容错阈值。
• 当任意 $j$ 行的 $H^X$ 矩阵的逐元素乘积的汉明权重能被 $2^{k+2-j}$ 整除（$1 \leq j \leq k+1$）时，$Z(\pi/2^k)^a$ 的跨距实现得到保证。
• 对于奇数 $a$，可通过重复应用并利用扩展欧几里得算法寻找逆指数，将门 $Z(\pi/2^k)^a$ 近似到任意精度。
• 该方法将 Bravyi-Haah 的三正交性条件推广为 $k$-正交性条件，使更广泛的码类能够支持高精度 $Z$-旋转。