[论文解读] Complex Interpolation of Weighted Besov- and Lizorkin-Triebel Spaces (long version)

Winfried Sickel, Leszek Skrzypczak+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 40被引用 4

一句话总结

该论文通过 Calderón 乘积和小波同构，建立了具有局部 Muckenhoupt 权的加权 Besov 空间与 Lizorkin-Triebel 空间之间的复插值公式。关键结果将经典的 Calderón 插值公式推广至加权函数空间，证明了 $[F^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbf R}^d,w_0), F^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbf R}^d,w_1)]_{\Theta} = F^s_{p,q}({\mathbf R}^d,w)$ 以及 Besov 空间类似结果，其中 $w = w_0^{(1-\Theta)p/p_0} w_1^{\Theta p/p_1}$，在一般参数范围内且 $w_0,w_1 \in \mathcal{A}_\infty^{\text{loc}}$ 的条件下成立。该研究填补了加权函数空间插值理论中长期存在的空白，尤其在权重不相等的情况下。

ABSTRACT

We study complex interpolation of weighted Besov and Lizorkin-Triebel spaces. The used weights $w_0,w_1$ are local Muckenhoupt weights in the sense of Rychkov. As a first step we calculate the Calderón products of associated sequence spaces. Finally, as a corollary of these investigations, we obtain results on complex interpolation of radial subspaces of Besov and Lizorkin-Triebel spaces on $\R^d$.

研究动机与目标

• 将加权 Lebesgue 空间的经典复插值公式推广至具有不同权重的加权 Besov 与 Lizorkin-Triebel 空间。
• 解决当权重 $w_0$ 与 $w_1$ 不同时，加权函数空间缺乏一般性插值结果的问题，特别是在局部 Muckenhoupt 权背景下。
• 建立一种系统化方法，利用序列空间的 Calderón 乘积与小波表征，计算加权 Triebel-Lizorkin 与 Besov 空间的复插值。
• 推导这些函数空间径向子空间的新插值公式，其动机源于偏微分方程理论与调和分析中的应用。

提出的方法

• 该方法首先在一般参数范围与 $w_0,w_1 \in \mathcal{A}_\infty^{\text{loc}}$ 条件下，计算相关序列空间的 Calderón 乘积：$f^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0)^{1-\Theta} f^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)^\Theta = f^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$，并类似地处理 $b$-空间。
• 通过小波同构将 Calderón 乘积结果提升至函数空间，利用 $B^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ 与 $F^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ 分别同构于 $b^{s+d/2}_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ 与 $f^{s+d/2}_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ 的事实。
• 在适当条件下，通过已知的 Calderón 乘积与复插值之间的重合性，推导出函数空间的插值结果。
• 通过 Shestakov 关于拟 Banach 空间复插值的结果，将该方法扩展至非分离空间。
• 通过将函数空间结构限制于径向函数，利用同构与插值结果，将理论应用于径向子空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $w_0 \neq w_1$ 且两者均为局部 Muckenhoupt 权时，加权 Besov 空间 $B^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0)$ 与 $B^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)$ 的正确复插值公式是什么？
• RQ2 对于 $\mathcal{A}_\infty^{\text{loc}}$ 中的一般参数与权重，加权 Besov 与 Lizorkin-Triebel 空间相关序列空间的 Calderón 乘积能否显式计算？
• RQ3 加权 Besov 与 Lizorkin-Triebel 空间的径向子空间的复插值行为如何？能否从一般插值结果中推导出？
• RQ4 小波同构在加权设定下，将插值结果从序列空间传递至函数空间中起到何种作用？
• RQ5 在何种条件下，加权函数空间的复插值与它们相关序列空间的 Calderón 乘积一致？

主要发现

• 在一般参数 $s_i, p_i, q_i$ 条件下，且 $w_0,w_1 \in \mathcal{A}_\infty^{\text{loc}}$，加权序列空间 $f^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0)$ 与 $f^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)$ 的 Calderón 乘积等于 $f^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$，其中 $w = w_0^{(1-\Theta)p/p_0} w_1^{\Theta p/p_1}$。
• 该结果同样适用于 $b$-序列空间：$b^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0)^{1-\Theta} b^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)^\Theta = b^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$。
• 加权 Lizorkin-Triebel 空间的复插值满足 $[F^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0), F^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)]_{\Theta} = F^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$，且权重公式相同。
• 加权 Besov 空间的复插值满足 $[B^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0), B^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)]_{\Theta} = B^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$，在相同条件下成立。
• 该结果可推广至这些函数空间的径向子空间，通过小波同构与一般插值结果，得到 $\mathring{B}^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ 与 $\mathring{F}^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ 的插值公式。
• 该方法适用于拟 Banach 空间，允许 $p<1$ 与 $q\leq\infty$，但排除了极限情形 $F^s_{\infty,q}({\mathbb R}^d,w)$，因其存在技术限制。