[论文解读] Complex interpolation of weighted noncommutative $L_p$-spaces

Éric Ricard, Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了通过半有限冯诺依曼代数中一个正可逆算子 $d$ 的左乘和右乘之和定义的加权非交换 $L_p$-空间的复杂插值定理。利用施瓦茨乘子和皮索尔在三角子空间上的插值定理，作者证明了 $L_{p_0}(d^{eta_0})$ 与 $L_{p_1}(d^{eta_1})$ 的复插值空间等价于 $L_p(d^\alpha)$，且范数等价，其中 $\frac{1}{p} = \frac{1-\theta}{p_0} + \frac{\theta}{p_1}$ 且 $\alpha = (1-\theta)\alpha_0 + \theta\alpha_1$，条件为 $\alpha_0, \alpha_1 \geq 0$。该结果将已知的单边加权插值恒等式推广至双边加权情形。

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}$ be a semifinite von Neumann algebra equipped with a semifinite normal faithful trace $ au$. Let $d$ be an injective positive measurable operator with respect to $(\mathcal{M}, au)$ such that $d^{-1}$ is also measurable. Define $$L_p(d)={x\in L_0(\mathcal{M}) : dx+xd\in L_p(\mathcal{M})}\quad{and}\quad \|x\|_{L_p(d)}=\|dx+xd\|_p .$$ We show that for $1\le p_0<p_1\le\8$, $0< heta<1$ and $\alpha_0\ge0, \alpha_1\ge0$ the interpolation equality $$(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1}))_ heta =L_{p}(d^{\alpha})$$ holds with equivalent norms, where $\frac1p=\frac{1- heta}{p_0}+\frac{ heta}{p_1}$ and $\alpha=(1- heta)\alpha_0+ heta\alpha_1$.

研究动机与目标

• 建立通过正可逆算子 $d$ 的左乘和右乘之和定义的加权非交换 $L_p$-空间的复插值恒等式。
• 将已知的右加权与左加权插值结果推广至同时涉及左乘和右乘的双边情形。
• 证明在 $\alpha_0, \alpha_1 \geq 0$ 条件下，插值空间 $(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1})){_\theta}$ 同构于 $L_p(d^\alpha)$ 且范数等价。
• 通过施瓦茨乘子和算子空间技术，提供一个独立于尚古与帕尔塞特定理对偶性的双边插值结果的直接证明。

提出的方法

• 作者将加权 $L_p$-空间 $L_p(d)$ 定义为满足 $dx + xd \in L_p(M)$ 的所有算子 $x \in L_0(M)$ 的集合，并赋予范数 $\|x\|_{L_p(d)} = \|dx + xd\|_p$。
• 他们利用与满足 $\hat{f} \in L^1(\mathbb{R})$ 的函数 $f \in L^1(\mathbb{R})$ 相关的特定施瓦茨乘子的有界性，证明了矩阵 $(f(s_i - s_j))$ 在 $B(\ell^2)$ 上定义了一个完全有界的施瓦茨乘子。
• 证明依赖于通过映射 $\Sigma_d: x \mapsto dx + xd$ 实现的扭曲同构，这些映射是从 $L_p(d)$ 到 $L_p(M)$ 的等距同构，从而可应用标准插值理论。
• 通过将等距同构 $\Sigma_d$ 与插值映射复合，分析插值空间 $(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1})){_\theta}$，从而导出其在 $L_p(d^\alpha)$ 上的有界延拓。
• 使用逼近技术，通过考虑谱投影和具有离散谱的逼近序列 $d_n$，将问题约化为 $d$ 与 $d^{-1}$ 有界的情形。
• 应用对偶性论证完成证明，通过验证对偶范数中的收敛性（利用控制收敛定理）来证明范数等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将加权非交换 $L_p$-空间的复插值从单边推广至同时涉及正算子左乘和右乘的双边权重情形？
• RQ2 在何种权重条件 $\alpha_0, \alpha_1$ 下，插值恒等式 $(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1})){_\theta} = L_p(d^\alpha)$ 成立且范数等价？
• RQ3 是否可独立于尚古与帕尔塞特定理的对偶性，利用施瓦茨乘子技术证明双边插值结果？
• RQ4 为何当 $\alpha_0$ 与 $\alpha_1$ 异号时插值恒等式失效，尽管在非负权重下成立？

主要发现

• 在 $\alpha_0, \alpha_1 \geq 0$ 条件下，加权非交换 $L_p$-空间 $L_{p_0}(d^{\alpha_0})$ 与 $L_{p_1}(d^{\alpha_1})$ 的复插值空间等价于 $L_p(d^\alpha)$，且范数等价，其中 $\frac{1}{p} = \frac{1-\theta}{p_0} + \frac{\theta}{p_1}$ 且 $\alpha = (1-\theta)\alpha_0 + \theta\alpha_1$。
• 证明依赖于与 $L^1$-傅里叶变换相关的特定施瓦茨乘子类的有界性，这些乘子用于控制插值映射。
• 作者建立了不依赖于尚古与帕尔塞特定理对偶性的插值结果的直接证明，尽管他们指出该结果也可通过对偶性恢复。
• 插值空间 $(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1})){_\theta}$ 通过等距同构 $\Sigma_d$ 与插值映射的复合，等距嵌入至 $L_p(d^\alpha)$，从而导出有界延拓。
• 当 $\alpha_0$ 与 $\alpha_1$ 异号时，结果不成立，反例表明某一类施瓦茨乘子矩阵无界。
• 通过具有离散谱的算子逼近，可将问题约化为 $d$ 与 $d^{-1}$ 有界的情形，从而可应用标准插值与对偶性论证，并保证范数收敛。