[论文解读] Complex Legendre duality

Bo Berndtsson, Dario Cordero–Erausquin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出了对紧致复流形上凯勒度量的勒让德变换的一种复杂推广，定义了在 Mabuchi 度量下，围绕实解析凯勒势函数的局部等距对称性。其核心贡献是一个保持 Mabuchi 度量且在不动点附近为对合的对偶映射，扩展了 Lempert 的梯度映射等距性，并解决了 Semmes 在复蒙日-安培测度对称性研究中提出的一个长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We introduce complex generalizations of the classical Legendre transform, operating on Kähler metrics on a compact complex manifold. These Legendre transforms give explicit local isometric symmetries for the Mabuchi metric on the space of Kähler metrics around any real analytic Kähler metric, answering a question originating in Semmes' work.

研究动机与目标

• 将经典勒让德变换推广至复几何，特别针对紧致复流形上的凯勒势函数。
• 在 Mabuchi 度量下，围绕实解析凯勒势函数构造凯勒度量空间上的局部等距对合。
• 解决 Semmes 关于 Mabuchi 度量与复蒙日-安培测度对称性研究中的一个长期悬而未决问题。
• 通过全纯辛几何与生成函数，统一并扩展 Lempert 的梯度映射等距性。
• 通过全纯余切丛上的辛变换，为复插值理论中的对偶性提供几何实现。

提出的方法

• 通过实解析凯勒势函数 φ 的极化，定义复勒让德变换，记为 φℂ(z,w)，其在 z 上全纯，在 w 上反全纯。
• 将变换构造为 Lφ(ψ)(w) = supz [ -Dφ(z,w) - ψ(z) ]，其中 Dφ(z,w) = φ(z) + φ(w) - 2Re φℂ(z,w) 为 Calabi 对角距离函数。
• 证明该变换在实解析凯勒势 φ 的 C² 拓扑邻域内，对 Mabuchi 度量是等距的。
• 通过将变换识别为全纯余切丛 T*(M) 上的辛映射，利用生成函数 φℂ，应用辛几何方法。
• 证明当辛变换由 φℂ 定义时，该变换与 Lempert 的广义梯度映射等距性一致。
• 验证该变换为对合（Lφ² = id），且固定 φ，其不动点对应于凯勒势函数 φ。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以保持凯勒势函数空间上 Mabuchi 度量的方式，将经典勒让德变换推广至复几何？
• RQ2 在实解析凯勒势函数附近，是否存在凯勒度量空间上的局部等距对合，其类比于凸分析中的勒让德对偶性？
• RQ3 Lempert 的梯度映射等距性如何通过全纯辛几何推广至任意实解析凯勒势函数？
• RQ4 Calabi 对角距离函数在定义凯勒度量上的对偶变换中起何种几何作用？
• RQ5 Semmes 所猜想的在 ∂ψ 图像上的反全纯对合是否与 Mabuchi 度量下的保度量变换相关？

主要发现

• 通过 Calabi 对角距离函数 Dφ(z,w) 定义的复勒让德变换，在实解析凯勒势函数 φ 的 C² 邻域内，对 Mabuchi 度量是等距的。
• 该变换满足 Lφ²(ψ) = ψ（当 ψ 足够接近 φ 时），确认其为对合，且 φ 为其唯一不动点。
• 当 φ(z) = |z|² 时，该变换退化为经典复勒让德变换，从而恢复 Lempert 关于梯度映射下测度保持性的结果。
• 该变换对应于全纯余切丛 T*(M) 上的辛变换，其中 φℂ(z,w) 充当生成函数。
• 该构造为 Semmes 所猜想的在 ∂ψ 图像上的反全纯对合提供了几何实现，该对合将 Λψ 映射至 ΛLφ(ψ)。
• Mabuchi 度量在该变换下保持不变，意味着 Mabuchi 度量下的测地线被映射为测地线，支持复插值理论中的对偶性原理。