[论文解读] Complex Lines with Restricted Angles

Aidan Roy|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 11

一句话总结

本文研究具有受限内积角度的大规模复线集合，利用球谐多项式与线性代数重新推导并拓展了 Delsarte、Goethals 和 Seidel 的界限。通过编码、差集与凯莱图，提出了互为 unbiased 基（MUBs）与等角线的新构造方法，建立了与量子信息及组合设计的联系，同时指出了高维空间与子空间推广中的开放问题。

ABSTRACT

This thesis is a study of large sets of unit vectors in $\cx^n$ such that the absolute value of their standard inner products takes on only a small number of values. We begin with bounds: what is the maximal size of a set of lines with only a given set of angles? We rederive a series of upper bounds originally due to Delsarte, Goethals and Seidel, but in a novel way using only zonal polynomials and linear algebra. In the process we get some new results about complex $t$-designs and also some new characterizations of tightness. Next we consider constructions. We describe some generic constructions using linear codes and Cayley graphs, and then move to two specific instances of the problem: mutually unbiased bases and equiangular lines. Both cases are motivated by problems in quantum computing, although they have applications in digital communications as well. Mutually unbiased bases are collections of orthonormal bases with a constant angle between vectors from different bases. We construct some maximal sets in prime-power dimensions, originally due to Calderbank, Cameron, Kantor and Seidel, but again in a novel way using relative difference sets or distance-regular antipodal covers. We also detail their numerous relations to other combinatorial objects, including symplectic spreads, orthogonal decompositions of Lie algebras, and spin models. Peripherally, we discuss mutually unbiased bases in small dimensions that are not prime powers and in real vector spaces. Equiangular lines are collections of vectors with only one angle between them. We use difference sets from finite geometry to construct equiangular lines: these sets do not have maximal size, but they are maximal with respect to having all entries of the same absolute value. We also include some negative results about constructions of maximal sets in large dimensions.

研究动机与目标

• 确定仅具有少量不同内积角度的复线集合的最大大小。
• 利用球谐多项式与线性代数，重新推导并推广 $s$-距离集在 $\mathbb{C}^n$ 中的上界。
• 通过代数组合与有限几何方法，构造最大化的互为 unbiased 基（MUBs）与等角线集合。
• 探索 MUBs、等角线、李代数、自旋模型与关联方案之间的联系。
• 识别在非素数幂维数与高阶 $s$-距离集（$s \geq 3$）中的开放问题。

提出的方法

• 应用球谐多项式与调和分析，推导复空间中 $s$-距离集的界限。
• 利用加权邻接代数与格拉姆矩阵代数，分析具有受限内积的配置。
• 在素数幂维数下，通过相对差集与距离正则对称覆盖构造互为 unbiased 基。
• 利用有限几何中的差集生成具有相等绝对内积的等角线。
• 通过单变量群与凯莱图构造具有受限角度的对称配置。
• 分析 fiducial 向量及其轨道的结构，以生成等角线集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^n$ 中，仅具有 $s$ 个不同绝对内积值的复线集合的最大大小是多少？
• RQ2 对于所有 $d$，$\mathbb{C}^d$ 中是否存在 $d^2$ 条等角线？它们是否总是 fiducial 向量的轨道？
• RQ3 当 $d$ 不是素数幂时，$\mathbb{C}^d$ 中存在多少组互为 unbiased 基？
• RQ4 能否在已知情况之外，为 $s \geq 3$ 构造出最大 $s$-距离集？
• RQ5 是否存在具有固定重叠的子空间最大集合，从而将 MUBs 推广至高维投影？

主要发现

• 本文利用球谐多项式与线性代数重新推导了 Delsarte-Goethals-Seidel 界限，给出了紧 $t$-设计的新表征。
• 在素数幂维数下，通过相对差集与辛铺（symplectic spreads）构造了最大化的互为 unbiased 基集合。
• 通过差集构造等角线，得到的集合在绝对内积均匀的意义下是最大的，但未必在大小上最大。
• 本文指出，$d^2$ 条等角线存在于 $\mathbb{C}^d$ 中当 $d=2,3,4,5,7,8,19,22,23,28$，但不存在于 $d=6$，其中 $d=6$ 的情况仍为开放问题。
• 证明了具有受限角度的配置的格拉姆矩阵必须满足特征值约束，由此通过 Schur 积与特征值分析得出基于秩的界限。
• 本文提出一个开放问题：所有最大化的 MUB 集合是否都是单变量群的？特别是在非素数幂维数下。