[论文解读] Complex Monge-Ampere equations on Hermitian manifolds

Bo Guan, Qun Li|ArXiv.org|Jun 18, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 19

一句话总结

本文在非凯勒几何背景下，将丘成桐与阿宾关于凯勒流形上复蒙日-安培方程的经典结果推广至赫米蒂安流形，建立了 $C^2$ 估计与存在性定理。在一般曲率条件下证明了梯度与拉普拉斯估计，并将其应用于求解赫米蒂安度量空间中的测地线方程，证实了唐纳森关于测地线凸性的凯勒猜想在非凯勒情形下的推广。

ABSTRACT

We study complex Monge-Ampere equations on Hermitian manifolds, extending classical existence results of Yau and Aubin in the Kahler case, and those of Caffarelli, Kohn, Nirenberg and Spruck for the Dirichlet problem in $C^n$. As an application we generalize existing results on the Donaldson conjecture on geodesics in the space of Kahler metrics to the Hermitian setting.

研究动机与目标

• 将复蒙日-安培方程的经典存在性定理从凯勒流形推广至赫米蒂安流形。
• 在具有边界的紧致赫米蒂安流形上，为适定解建立 $C^2$ 先验估计。
• 利用次解技术求解赫米蒂安流形上复蒙日-安培方程的狄利克雷问题。
• 将唐纳森关于凯勒度量空间中测地线凸性的猜想推广至赫米蒂安情形。

提出的方法

• 通过使用一种特殊的局部坐标系，控制与挠率相关的三阶项，推导赫米蒂安流形上复蒙日-安培方程的 $C^2$ 估计。
• 应用次解方法证明狄利克雷问题解的存在性，要求存在次解 $υ$ 满足 $ω_{υ} \geq 0$ 且 $(ω_{υ})^n \geq \psi(z,\underline{u})\omega^n$。
• 将赫米蒂安度量空间中测地线的寻找问题转化为在 $M \times A$ 上求解齐次复蒙日-安培方程，其中 $A = [0,1] \times \mathbb{S}^1$。
• 通过 $\tilde{\omega} = \omega + \frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}|w|^2$ 将赫米蒂安度量 $\omega$ 提升至 $M \times A$，以定义扩展方程。
• 对扩展方程应用定理 1.5，证明弱解 $\varphi \in C^{1,\alpha}(M \times A)$ 的存在性与正则性，且满足 $\Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$。
• 对足够大的 $K$ 构造严格次解 $\underline{\varphi} = (1-t)\varphi_0 + t\varphi_1 + K(t^2 - t)$，以确保 $\tilde{\omega}_{\underline{\varphi}} > 0$ 且 $(\tilde{\omega}_{\underline{\varphi}})^{n+1} \geq 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 凯勒情形下复蒙日-安培方程的古典 $C^2$ 估计能否推广至具有非零挠率的赫米蒂安流形？
• RQ2 在退化情形（$\psi \geq 0$）下，赫米蒂安流形上复蒙日-安培方程的狄利克雷问题是否在次解条件下仍存在解？
• RQ3 唐纳森关于凯勒度量空间中测地线凸性的猜想能否推广至赫米蒂安度量？
• RQ4 在赫米蒂安情形下，齐次复蒙日-安培方程在 $M \times A$ 上的解具有何种正则性？
• RQ5 在何种曲率条件下，测地线方程的解可达到 $C^{1,1}$ 正则性？

主要发现

• 本文建立了适定解的梯度估计 $\max_{\bar{M}}|\nabla u| \leq C_1(1 + \max_{\partial M}|\nabla u|)$，其常数 $C_1$ 与 $\inf \psi$ 无关，推广了布洛克与关的凯勒结果。
• 证明了拉普拉斯估计 $\max_{\bar{M}}\Delta u \leq C_2(1 + \max_{\partial M}\Delta u)$，其中常数 $C_1, C_2$ 依赖于 $|u|_{C^0}$、$\psi$ 以及几何数据（挠率、曲率），但不依赖于 $\inf \psi$。
• 在存在次解 $\underline{u} \in C^2(\bar{M})$ 满足 $\omega_{\underline{u}} \geq 0$ 且 $(\omega_{\underline{u}})^n \geq \psi(z,\underline{u})\omega^n$ 的条件下，证明了狄利克雷问题存在光滑解 $u \in \mathcal{H} \cap C^\infty(\bar{M})$。
• 在紧致赫米蒂安流形上，测地线方程存在弱解 $\varphi \in C^{1,\alpha}(M \times A)$ 且满足 $\Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$，该解具有唯一性与旋转不变性。
• 若 $M$ 具有非负双全纯截面曲率，则解 $\varphi$ 属于 $C^{1,1}(M \times A)$，将布洛克的结果推广至赫米蒂安情形。
• 测地线方程的解满足 $\tilde{\omega}_{\varphi}^{n+1} = 0$ 且对所有 $w \in A$ 有 $\varphi(\cdot, w) \in \mathcal{H}$，从而证实了唐纳森猜想在非凯勒情形下的推广。