[论文解读] Complex Multiplication Tests for Elliptic Curves

Denis Charles|ArXiv.org|Sep 26, 2004

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种确定性多项式时间算法，用于测试数域上的椭圆曲线是否具有复乘（CM），该方法基于ℓ进表示的伽罗瓦图像的可解性。证明了对于足够大的素数ℓ，伽罗瓦群Gal(L(E[ℓ])/L)可解当且仅当曲线具有CM，从而通过Masser-Wüstholz定理建立有效界，实现决策过程，尽管运行时间中的乘法常数仍为非有效形式。

ABSTRACT

We consider the problem of checking whether an elliptic curve defined over a given number field has complex multiplication. We study two polynomial time algorithms for this problem, one randomized and the other deterministic. The randomized algorithm can be adapted to yield the discriminant of the endomorphism ring of the curve.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，以判断数域上的椭圆曲线是否具有复乘（CM）。
• 为先前基于概率的方法提供一种严格、非启发式的替代方案，用于CM测试。
• 基于ℓ进伽罗瓦表示的像，建立一种确定性多项式时间算法。
• 分析伽罗瓦群Gal(L(E[ℓ])/L)变得可解的条件，将其与CM性质联系起来。

提出的方法

• 使用与椭圆曲线ℓ torsion点相关的伽罗瓦表示ρℓ，分析Gal(L(E[ℓ])/L)的结构。
• 利用当ℓ ≥ 5时，GL₂(𝔽ℓ)不可解，而ρℓ的像是可解当且仅当曲线具有CM的事实。
• 应用Masser-Wüstholz定理，以界定当E不具有CM时，ρℓ(G_L)包含SL₂(𝔽ℓ)的最小素数ℓ。
• 使用计算代数工具（如Landau和Miller的算法）检查固定ℓ下扩展L(E[ℓ])/L的可解性。
• 利用j-不变的Weil高度来界定输入大小，确保多项式时间复杂度。
• 选择ℓ > c(max{d, h})^γ，其中c, γ为有效常数，以保证非CM曲线的伽罗瓦图像不可解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在确定性多项式时间内测试数域上椭圆曲线的复乘性质？
• RQ2 对于非CM曲线，使ℓ-torsion表示的伽罗瓦图像变为不可解的最小素数ℓ是什么？
• RQ3 伽罗瓦群Gal(L(E[ℓ])/L)的可解性如何用作检测CM的判别准则？
• RQ4 Weil高度在多大程度上可用于界定CM测试算法的运行时间？
• RQ5 能否基于伽罗瓦表示的结果，将基于 supersingular primes 的随机化算法转化为单边错误算法？

主要发现

• 本文建立了用于测试数域上椭圆曲线复乘的确定性多项式时间算法。
• 对于ℓ > c(max{d, h})^γ（c, γ为有效常数），伽罗瓦群Gal(L(E[ℓ])/L)可解当且仅当曲线具有CM。
• 该算法依赖于ℓ进伽罗瓦表示的像是可解的充要条件正是曲线具有CM，而对大ℓ而言，否则为不可解。
• j-不变的Weil高度可被输入大小的多项式有界，从而确保多项式时间编码。
• 该方法严格可靠，不依赖于未经证明的启发式假设，与先前方法不同。
• 尽管运行时间为多项式，但由于类数界目前的状态，指数中的乘法常数仍为非有效形式。