[论文解读] Complex networks with complex weights

Lucas Böttcher, Mason A. Porter|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2022

Complex Network Analysis Techniques被引用 9

一句话总结

本文将经典网络分析推广至具有复数权重边的网络，此类网络在量子物理、电磁学和机器学习中均有出现。通过使用量子随机游走，将随机游走中心性度量（如介数和接近度）推广至复数域，证明即使在传统实数方法失效时，这些度量仍能保持结构洞察力。

ABSTRACT

In many studies, it is common to use binary (i.e., unweighted) edges to examine networks of entities that are either adjacent or not adjacent. Researchers have generalized such binary networks to incorporate edge weights, which allow one to encode node--node interactions with heterogeneous intensities or frequencies (e.g., in transportation networks, supply chains, and social networks). Most such studies have considered real-valued weights, despite the fact that networks with complex weights arise in fields as diverse as quantum information, quantum chemistry, electrodynamics, rheology, and machine learning. Many of the standard network-science approaches in the study of classical systems rely on the real-valued nature of edge weights, so it is necessary to generalize them if one seeks to use them to analyze networks with complex edge weights. In this paper, we examine how standard network-analysis methods fail to capture structural features of networks with complex edge weights. We then generalize several network measures to the complex domain and show that random-walk centralities provide a useful approach to examine node importances in networks with complex weights.

研究动机与目标

• 解决经典网络分析在应用于具有复数权重边的网络时的局限性。
• 将标准网络度量（尤其是中心性度量）推广至复数域，以实现准确的结构分析。
• 证明量子随机游走可为复权重网络中节点重要性的定义提供稳健的框架。
• 表明传统实数中心性度量在边权重非厄米特或具有非零虚部时，无法捕捉复权重系统中的结构特征。
• 开发计算上可行的方法，通过正则化和非厄米特矩阵的特征值求解器，计算复权重中心性。

提出的方法

• 通过使用厄米特权重矩阵的连续时间量子随机游走（CTQW），将经典随机游走中心性推广至复网络。
• 通过吸收哈密顿量定义量子随机游走介数中心性，其中无限时间平均占据概率通过正则化参数 $ s = 10^{-1} $ 计算。
• 使用非厄米特吸收哈密顿量的厄米特版本 $ ( ilde{H}_ ext{abs})_ ext{q} $，通过标准求解器（如 scipy.linalg.eigh）计算特征值和特征向量。
• 将接近度中心性计算为平均首次通过时间的倒数，结合平均返回时间 $ au_ ext{inv}^{-1} $ 和所有初始节点的期望遍历次数。
• 在预解式表达式中应用正则化，以避免特征值差为零时的奇点。
• 在中心性计算中采用均匀初始态 $ | ho(0) angle = (1, ext{...},1)^ op / u $，对所有起始节点进行平均。

实验结果

研究问题

• RQ1 当应用于具有复数权重边的网络时，标准网络中心性度量为何会失效？
• RQ2 量子随机游走能否为复权重网络中的经典随机游走中心性提供一致且有意义的推广？
• RQ3 复数边权重中非零虚部的结构影响是什么，特别是在非厄米特网络中？
• RQ4 对于具有复数非对角线权重的厄米特二节点网络，强Perron–Frobenius性质是否成立？
• RQ5 基于量子游走的介数和接近度中心性能否在非厄米特哈密顿量上通过数值方法可靠计算？

主要发现

• 标准实数中心性度量在复权重网络中无法捕捉结构特征，特别是在边权重具有非零虚部时。
• 对于具有复数非对角线项的厄米特二节点网络，强Perron–Frobenius性质不成立，除非相位 $ heta $ 为 $ 0 $ 或 $ au $，此时虚部被强制为零。
• 量子随机游走介数中心性通过无限时间平均占据概率定义，使用正则化预解式表达式，其中 $ s = 10^{-1} $ 以避免奇点。
• 接近度中心性计算为平均首次通过时间的倒数，结合期望遍历次数和平均返回时间 $ au_ ext{inv}^{-1} $。
• 该方法通过将非厄米特哈密顿量通过对称分解处理为厄米特形式，成功将经典中心性度量推广至复网络，从而可使用标准特征值求解器。
• 该方法使在量子信息、复阻抗网络和复数权重神经网络等领域的结构分析成为可能，而传统实数方法在此类场景中不足。