[论文解读] Complex Numbers in n Dimensions

Silviu Olariu|ArXiv.org|Nov 8, 2000

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用 33

一句话总结

本文引入了n维中两种不同的交换超复数系统——极坐标型与平面型——通过几何变量和方位角推导其指数形式。它将共三角函数定义为三角函数与双曲函数的推广，使n维复多项式可因式分解，并为路径积分定义了留数，从而统一了高维复分析中的代数、几何与解析结构。

ABSTRACT

This monograph presents a detailed analysis of hypercomplex numbers in 2, 3 and 4 dimensions, then presents the properties of hypercomplex numbers in 5 and 6 dimensions. It continues with a detailed analysis of hypercomplex numbers in n dimensions, and two distinct systems of commutative complex numbers are described, of polar and planar types. Exponential forms of n-complex numbers are given in each case, which depend on geometric variables. Azimuthal angles, which are cyclic variables, appear in these forms at the exponent, and this leads to the concept of residue for path integrals of n-complex functions. The exponential function of an n-complex number is expanded in terms of functions called in this paper cosexponential functions, which are generalizations to n dimensions of the circular and hyperbolic sine and cosine functions. The factorization of n-complex polynomials is discussed. The essence of this monograph is the interplay between the algebraic, the geometric and the analytic facets of the relations.

研究动机与目标

• 将复数概念从二维扩展至n维超复代数。
• 为2、3、4、5和6维中的交换超复数建立系统性框架。
• 利用几何变量和循环方位角，定义n维复数的指数形式。
• 将三角函数与双曲函数推广为n维的共三角函数。
• 基于循环角变量，建立n维复函数路径积分的留数理论。

提出的方法

• 引入两种不同的交换超复数系统：极坐标型与平面型，每种均在n维中由特定代数规则定义。
• 推导n维复数的指数形式，其中方位角出现在指数中，利用几何结构。
• 将共三角函数定义为sin、cos、sinh与cosh的推广，用于分解n维复数的指数。
• 使用径向与角分量等几何变量参数化n维复数，并分析其解析行为。
• 利用循环方位角的概念，定义n维复空间中围线积分的留数。
• 利用共三角函数的代数与解析性质，分析n维复多项式的因式分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持交换性与解析结构的前提下，一致地将复数推广至n维超复代数？
• RQ2 在n维中，哪些适当的指数函数与共三角函数可推广圆函数与双曲函数？
• RQ3 n维复数指数中循环方位角如何导致路径积分的留数理论？
• RQ4 两种不同的交换n维复数系统——极坐标型与平面型——的代数与几何特性是什么？
• RQ5 如何利用广义共三角函数及其对称性对n维复多项式进行因式分解？

主要发现

• 本文在n维中构建了两种不同的交换超复数系统——极坐标型与平面型——各自具有独特的代数与几何特性。
• 利用作为循环变量的方位角，推导出n维复数的指数形式，从而实现高维中的解析延拓与积分微分计算。
• 引入共三角函数作为sin、cos、sinh与cosh的推广，构成n维复数指数展开的基础。
• 通过循环方位角定义了n维复空间中路径积分的留数，将复分析扩展至高维。
• 利用共三角函数的代数结构及其对称性，实现了n维复代数中多项式的因式分解。
• 代数规则、几何变量与解析函数之间的相互作用被证明是统一n维复分析结构的根本要素。