[论文解读] Complex oscillations in the delayed Fitzhugh-Nagumo equation

Maciej Krupa, Jonathan Touboul|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2014

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 38被引用 15

一句话总结

本文研究具有慢-快动力学的时滞FitzHugh-Nagumo方程，表明时滞通过时滞诱导的亚临界Bogdanov-Takens不稳定，引发复杂的振荡行为，如混合模式振荡（MMOs）、爆发放电和混沌。利用几何奇异摄动理论与数值延续方法，揭示了从仙人掌诱导动力学到时滞主导动力学的急剧转变，其中Hopf分岔的临界性因时滞反馈而改变，从根本上改变了系统在小延迟以外的振荡区域。

ABSTRACT

Motivated by the dynamics of neuronal responses, we analyze the dynamics of the Fitzhugh-Nagumo slow-fast system with delayed self-coupling. This system provides a canonical example of a canard explosion for sufficiently small delays. Beyond this regime, delays significantly enrich the dynamics, leading to mixed-mode oscillations, bursting and chaos. These behaviors emerge from a delay-induced subcritical Bogdanov-Takens instability arising at the fold points of the S-shaped critical manifold. Underlying the transition from canard-induced to delay-induced dynamics is an abrupt switch in the nature of the Hopf bifurcation.

研究动机与目标

• 理解时滞如何从根本上改变慢-快FitzHugh-Nagumo系统的动力学，特别是超出小延迟区域的情形。
• 研究神经元模型中通过时滞自耦合诱导的复杂振荡——MMOs、爆发放电和混沌的出现机制。
• 将几何奇异摄动理论（GSPT）推广至快变量中存在时滞、慢变量为有限维的系统。
• 表征从仙人掌诱导振荡到时滞诱导不稳定性之间的转变，特别是Hopf分岔临界性的变化。
• 为生物神经系统的时滞诱导复杂动力学及更广泛的动力系统理论提供理论与数值基础。

提出的方法

• 使用几何奇异摄动理论（GSPT）对时滞FitzHugh-Nagumo系统进行形式分析，令ε → 0以分离慢变与快变动力学。
• 应用Fenichel理论及Hupkes与Sandstede的最新成果，建立时滞系统中慢流形存在的理论依据。
• 利用符号计算（Maple®）计算Hopf分岔处的正规形，推导系数与第一Lyapunov系数。
• 通过数值延续与周期轨道模拟，探索不同时间延迟τ下的MMOs、爆发放电及混沌转变。
• 分析快子系统的临界流形及其不动点的稳定性，识别Bogdanov-Takens奇点为时滞诱导不稳定的根源。
• 利用色散关系与特征方程研究时滞系统中平衡点的稳定性，尤其针对γ ≠ 0的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 时滞如何改变FitzHugh-Nagumo系统中经典的仙人掌爆炸现象？
• RQ2 时滞FitzHugh-Nagumo模型中混合模式振荡（MMOs）与爆发放电的出现背后，其动力学机制是什么？
• RQ3 由于时滞反馈，Hopf分岔的临界性如何变化，其在向混沌转变过程中的作用是什么？
• RQ4 快动力学中的Bogdanov-Takens奇点在时滞作用下生成复杂振荡模式的机制是什么？
• RQ5 几何奇异摄动理论在具有时滞快动力学的系统中，其推广程度如何？

主要发现

• 时滞在S形临界流形的折叠点处诱发亚临界Bogdanov-Takens不稳定，导致小延迟区域以外的复杂动力学。
• 从仙人掌诱导动力学到时滞诱导动力学之间发生急剧转变，其标志为Hopf分岔临界性的变化。
• 混合模式振荡（MMOs）源于时滞反馈与临界流形折叠结构之间的相互作用，其机制与标准MMOs机制不同。
• 对于中等到大时滞，出现爆发动力学——表现为静默相与快速振荡相交替，且在MMOs与爆发放电区域之间观察到混沌转变。
• 数值模拟证实，当τ > 1/J且ε = 0.05时，随着时滞增加，系统从MMOs经混沌过渡到爆发放电，与生物神经记录中的动力学行为一致。
• 通过符号计算获得的第一Lyapunov系数确认了时滞系统中Hopf分岔的亚临界性质，从而支持复杂周期解与混沌解的出现。