[论文解读] Complex oscillatory patterns near singular Hopf bifurcation in a two time-scale ecosystem

Susmita Sadhu|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 55被引用 7

一句话总结

本文利用几何奇异摄动理论与分支分析，研究了具有时间尺度分离的两捕食者一猎物生态系统中复杂的振荡动力学。研究揭示了在奇异霍普夫分支附近存在长期持续的混沌混合模式振荡（MMOs），其中小振幅振荡可持续数百至数千代才过渡至周期性吸引子，其机制由种内竞争与捕食效率参数驱动。

ABSTRACT

We consider an ecological model consisting of two species of predators competing for their common prey with explicit interference competition. With a proper rescaling, the model is portrayed as a singularly perturbed system with one-fast (prey dynamics) and two-slow variables (dynamics of the predators). The model exhibits variety of rich and interesting dynamics, including, but not limited to mixed mode oscillations (MMOs), featuring concatenation of small and large amplitude oscillations, relaxation oscillations and bistability between a semi-trivial equilibrium state and a coexistence oscillatory state. Existence of co-dimenison two bifurcations such as fold-Hopf and generalized Hopf bifurcations make the system further intriguing. More interestingly, in a neighborhood of {\emph{singular Hopf}} bifurcation, long lasting transient dynamics in form of chaotic MMOs or relaxation oscillations are observed as the system approaches the periodic attractor born out of supercritical Hopf bifurcation or a semi-trivial equilibrium state respectively. The transient dynamics could persist for hundreds or thousands of generations before the ecosystem experiences a regime shift. The time series of population cycles with different types of irregular oscillations arising in this model stem from a biological realistic feature, namely, by the variation in the intraspecific competition amongst the predators. To explain these oscillations, we use bifurcation analysis and methods from {\emph{geometric singular perturbation theory}}.

研究动机与目标

• 理解在显式种内干扰竞争下，两捕食者一猎物生态系统中复杂振荡模式（包括混合模式振荡MMOs）的产生机制。
• 分析时间尺度分离（通过快速猎物与慢速捕食者动力学）如何引发丰富的动力学行为，如松弛振荡、双稳态及长期瞬态。
• 研究种内竞争与捕食效率在塑造分支结构与瞬态动力学中的作用。
• 识别在II型折叠鞍结点（FSN II）分支点附近长期混沌MMOs背后的机制。

提出的方法

• 基于重标度的洛特卡-沃尔泰拉竞争动力学，构建一个具有一个快变量（猎物）与两个慢变量（捕食者）的奇异摄动系统。
• 应用几何奇异摄动理论分析慢流形结构，包括吸引与排斥分支及其扭转特性。
• 执行局部与全局分支分析，识别如折叠-霍普夫与广义霍普夫分支等双参数分支。
• 使用数值延续法与ODE45（MATLAB）以高精度（相对容差10−11，绝对容差10−12）模拟轨迹并检测MMOs。
• 研究瞬态吸引域及其分形样结构，以评估对初始条件与环境扰动的敏感性。
• 研究FSN II点附近的“进入/离开”函数，以理解范德波尔型振荡中的延迟效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 种内竞争与捕食效率如何共同影响两捕食者一猎物系统中混合模式振荡的产生？
• RQ2 在奇异霍普夫分支附近观察到的长期混沌瞬态动力学背后的机制是什么？
• RQ3 慢流形的几何结构及其扭转特性如何影响范德波尔型小振幅振荡的形成？
• RQ4 如折叠-霍普夫与广义霍普夫等双参数分支在组织复杂振荡区域中起什么作用？
• RQ5 瞬态吸引域如何影响生态系统在扰动下的可预测性与恢复力？

主要发现

• 在奇异霍普夫分支（即FSN II点）附近观察到混沌混合模式振荡（MMOs），其中小振幅振荡（SAOs）持续数百至数千代之久。
• 系统表现出长期瞬态，最终收敛至由亚临界霍普夫分支产生的小振幅周期性吸引子，且该吸引子具有较大的吸引域。
• 慢流形结构，特别是其扭转特性，决定了MMOs中SAOs的存在与持续时间，动力学对捕食效率（β1, β2）高度敏感。
• 分支分析揭示了双参数分支的存在，包括折叠-霍普夫与广义霍普夫分支，这些分支组织了复杂的动力学转变。
• 瞬态吸引域表现出复杂、可能具有分形样结构，表明对初始条件与环境波动具有高度敏感性。
• 通过环状振荡出现边界平衡点，提示其可能与生态持久性及爆发动力学相关，类似于神经元系统中的行为。