[论文解读] Complex product structures on some simple Lie groups

Stefan Ivanov, Vasil Tsanov|ArXiv.org|May 31, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 5

一句话总结

本文在实李群 $SL(2m-1,\mathbb{R})$、$SU(m,m-1)$ 和 $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上构造了左不变的复乘积结构，通过显式代数构造证明了其存在性。关键贡献在于表明，在 $SU(m,m-1)$ 和 $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上，这些结构与双不变的卡廷度量相容，通过商掉共(compact)离散子群，得到紧致、非平坦、中性爱因斯坦流形。

ABSTRACT

We construct invariant complex product (hyperparacomplex, indefinite quaternion) structures on the manifolds underlying the real noncompact simple Lie groups $SL(2m-1,\RR)$, $SU(m,m-1)$ and $SL(2m-1,\CC)^\RR$. We show that on the last two series of groups some of these structures are compatible with the biinvariant Killing metric. Thus we also provide a class of examples of compact (neutral) hyperparahermitean, non-flat Einstein manifolds.

研究动机与目标

• 在实半单李群上显式构造左不变复乘积结构，特别是 $SL(2m-1,\mathbb{R})$ 和 $SU(m,m-1)$，这些结构在该背景下此前未被知晓。
• 证明这些复乘积结构在 $SU(m,m-1)$ 和 $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上与双不变卡廷度量相容，从而实现兼容的伪黎曼度量的构造。
• 通过商掉共(compact)离散子群，生成新的紧致、非平坦、中性爱因斯坦流形的例子。
• 通过显式参数化构造，将已知的关于可解群和半单群的复乘积结构结果扩展至半单李群。

提出的方法

• 通过由 $U^1, \dots, U^{m-1}$ 张成的交换子代数 $\mathfrak{z}$，在李代数 $su(m,m-1)$ 和 $sl(2m-1,\mathbb{R})$ 上构造一族复乘积结构 $(P,J)$。
• 通过线性扩张在基元素如 $Z^j, V^j, S^j, T^j, U_j^k, V_j^k, S_j^k, T_j^k$ 上定义算子 $P$ 和 $J$，满足 $P^2 = -J^2 = 1$ 且 $PJ = -JP$。
• 通过检查其 Nijenhuis 张量是否为零，验证 $P$ 和 $J$ 的可积性，利用恒等式 $[Z, J(X)] = J([Z,X])$ 和 $[Z, P(X)] = P([Z,X])$（其中 $Z \in \mathfrak{z}$）。
• 通过证明卡廷形式（或复化代数上的其实部）在 $P$ 和 $J$ 下保持不变，来证明度量相容性，使用指定范数的正交基。
• 通过将 $su(m,m-1)$ 上的作用复化，将复乘积结构扩展至 $sl(2m-1,\mathbb{C})^{\mathbb{R}}$，并验证其与迹形式其实部的相容性。
• 应用博雷尔定理，得出 $SU(m,m-1)$ 和 $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 中存在共(compact)离散子群 $\Gamma$，从而可构造具有兼容中性爱因斯坦度量的紧致商流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在如 $SL(2m-1,\mathbb{R})$ 和 $SU(m,m-1)$ 这类半单实李群上构造不变的复乘积结构？
• RQ2 这些复乘积结构是否在 $SU(m,m-1)$ 和 $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上与双不变卡廷度量相容？
• RQ3 当 $G$ 为 $SU(m,m-1)$ 或 $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 且 $\Gamma$ 为共(compact)离散子群时，所得商流形 $G/\Gamma$ 是否为紧致、非平坦、中性爱因斯坦流形？
• RQ4 能否通过复化 $su(m,m-1)$ 的实形式上的复乘积结构，从 $sl(2m-1,\mathbb{C})$ 上的复乘积结构导出？
• RQ5 基元素的范数在卡廷形式下如何表现？这对度量相容性有何含义？

主要发现

• 本文对所有 $m > 1$，在 $SL(2m-1,\mathbb{R})$ 和 $SU(m,m-1)$ 上显式构造了左不变复乘积结构，使用 Lie 代数基上的参数化算子 $P$ 和 $J$。
• 在 $SU(m,m-1)$ 上，卡廷形式在交换子代数 $\mathfrak{z}$ 上为负定，且基元素的范数满足 $\|Z^j\|^2 = \|V^j\|^2 = \|U_j^k\|^2 = \|V_j^k\|^2 = -1$，而 $\|S^j\|^2 = \|T^j\|^2 = \|S_j^k\|^2 = \|T_j^k\|^2 = 1$，从而确保度量相容性。
• 在 $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上，复乘积结构与迹形式其实部相容，该其实部与卡廷形式成比例，且实部与虚部的基元素范数满足 $K(iZ,iZ) = K(iU,iU) = K(iV,iV) = K(S,S) = K(T,T) = 1$，而 $K(Z,Z) = K(U,U) = K(V,V) = K(iS,iS) = K(iT,iT) = -1$。
• 当 $\Gamma$ 为共(compact)离散子群时，商流形 $SU(m,m-1)/\Gamma$ 和 $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}/\Gamma$ 为紧致、非平坦、中性爱因斯坦流形，这是由于复乘积结构与卡廷度量的相容性所致。
• 通过将它们嵌入 $SL(2m+1,\mathbb{R})$ 和 $SU(m+1,m)$ 中，该构造可扩展至 $GL(2m,\mathbb{R})$ 和 $U(m,m)$，作为复乘积子流形。
• 在 $sl(2m-1,\mathbb{C})$ 上的复乘积结构作为其复化上的超复结构出现，根据 Andrada 和 Salamon 的结果，确认 $SL(2m-1,\mathbb{C})$ 允许齐性超复结构。