[论文解读] Complex structure degenerations and collapsing of Calabi-Yau metrics

Song Sun, Ruobing Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 17

一句话总结

本文在射影空间中退化的卡拉比-丘超曲面族中，建立了度量坍缩与复结构退化之间的精确、显式关系，特别针对中心纤维为两个光滑法诺超曲面的横截并集的情形。通过使用环面对称凯勒度量的粘合与奇异摄动技术，证明了卡拉比-丘度量坍缩至一个与退化对应的对偶复形同胚的极限空间，颈部区域的模型为Tian-Yau空间，且极限测度反映了代数几何数据。

ABSTRACT

In this paper, we make progress on understanding the collapsing behavior of Calabi-Yau metrics on a degenerating family of polarized Calabi-Yau manifolds. In the case of a family of smooth Calabi-Yau hypersurfaces in projective space degenerating into the transversal union of two smooth Fano hypersurfaces in a generic way, we obtain a complete result in all dimensions establishing explicit and precise relationships between the metric collapsing and complex structure degenerations. This result is new even in complex dimension two. This is achieved via gluing and singular perturbation techniques, and a key geometric ingredient involving the construction of certain (not necessarily smooth) Kähler metrics with torus symmetry. We also discuss possible extensions of this result to more general settings.

研究动机与目标

• 理解卡拉比-丘流形退化族上卡拉比-丘度量的格罗莫夫-豪斯多夫极限，特别是坍缩情形。
• 在特定类别的超曲面中，建立卡拉比-丘度量坍缩与复结构代数退化之间的精确几何对应关系。
• 使用奇异摄动与粘合方法，在退化族的颈部区域构造近似卡拉比-丘度量。
• 将极限度量测度空间识别为与退化的对偶复形同胚，且归一化极限测度反映代数几何不变量。

提出的方法

• 在退化中心纤维上的 $S^1$-丛上构造一类 $C^{2,\bar{\alpha}}$-凯勒结构，使用加权 Hölder 空间。
• 应用线性化卡拉比-丘方程与奇异摄动理论，求解具有环面对称性的颈部区域上的不完全部分卡拉比-丘度量。
• 使用法诺流形中反 canonical 截面的补集上的 Tian-Yau 度量作为坍缩颈部的模型空间。
• 应用加权分析与 Liouville 型定理控制误差项，并确保摄动度量的收敛性。
• 匹配参数 $t$ 与 $T$，使模型度量的渐近行为与族的整体几何一致。
• 在解析后的全空间 $\widehat{X}_t$ 上进行全局加权分析，以在测度格罗莫夫-豪斯多夫拓扑中证明主要收敛结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当复结构退化为两个法诺超曲面的并集时，退化族中超曲面上的卡拉比-丘度量如何坍缩？
• RQ2 在坍缩极限中，颈部区域的精确几何结构是什么？它与中心纤维的几何有何关系？
• RQ3 格罗莫夫-豪斯多夫极限中的归一化极限测度能否用代数几何不变量（如 Poincaré 残留物或对偶复形）来解释？
• RQ4 在不预先假定复族存在的前提下，Tian-Yau 度量在共同除子上粘合以建模坍缩几何的范围有多大？
• RQ5 在 $t=0$ 附近是否存在卡拉比-丘度量的精细渐近展开，类似于双曲几何中的展开？

主要发现

• 当 $|t| \to 0$ 时，$(X_t, \omega_{CY,t})$ 的格罗莫夫-豪斯多夫极限是一个紧致的测度度量空间 $(B, d_B, d\underline{\nu}_0)$，同胚于退化的对偶复形 $\Delta(\mathcal{X})$。
• 从 Colding-Naber 意义上看，极限空间 $B$ 的维数等于退化中心纤维分量的复维数 $d$。
• 归一化极限测度 $d\underline{\nu}_0$ 是归一化体积形式 $d\underline{\nu}_t$ 的弱极限，其代数几何意义推测与 Poincaré 残留物及非阿基米德 Monge-Ampère 方程有关。
• 当 $t$ 较小时，$X_t$ 的颈部区域由法诺流形中除子补集上的 $T^1$-不变卡拉比-丘度量建模，其渐近行为与 Tian-Yau 空间一致。
• 极限空间 $B$ 同构于 $D \times \mathbb{R}$，其中 $D$ 是光滑完全交 $Y_1 \cap Y_2$，坍缩沿圆纤维发生。
• 该构造在所有维数 $n \geq 2$ 中完整描述了坍缩几何，扩展了以往仅限于复维数二的成果。