[论文解读] Complex vector bundles and Jacobi forms

Valery Gritsenko|ArXiv.org|Jun 28, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 26

一句话总结

本文引入了修正的 Witten 亏格，这是任意全纯向量丛在紧致复流形上的双变量自动形式函数，将椭圆亏格从 Calabi–Yau 流形推广至更广范围。通过 Weierstrass ℘-函数与 Eisenstein 系数，建立了复向量丛与 Jacobi 形式之间的联系，并利用 zeta-正则化乘积与模形式，给出了 Jacobi theta 函数的指数表示。

ABSTRACT

The elliptic genus (EG) of a compact complex manifold was introduced as a holomorphic Euler characteristic of some formal power series with vector bundle coefficients. EG is an automorphic form in two variables only if the manifold is a Calabi--Yau manifold. In physics such a function appears as the partition function of N=2 superconformal field theories. In these notes we define the modified Witten genus or the automorphic correction of elliptic genus. It is an automorphic function in two variables for an arbitrary holomorphic vector bundle over a compact complex manifold. This paper is an exposition of the talks given by the author at Symposium "Automorphic forms and L-functions" at RIMS, Kyoto (January, 27, 1999) and at Arbeitstagung in Bonn (June, 20, 1999).

研究动机与目标

• 将仅在 Calabi–Yau 流形上为自动形式的椭圆亏格推广至任意全纯向量丛。
• 为非 Calabi–Yau 流形定义椭圆亏格的自动形式修正，使其保持模性质。
• 通过 theta 函数与 Eisenstein 系数，建立复向量丛与 Jacobi 形式之间的精确联系。
• 利用 zeta-正则化乘积与模形式，提供 Jacobi theta 函数的指数表示。
• 通过 Chern 根与模不变量，将弱 Jacobi 形式（半整数指标）理论扩展至包含向量丛数据。

提出的方法

• 将修正的 Witten 亏格定义为向量丛上形式幂级数系数的全纯 Euler 示性数。
• 利用 Weierstrass ℘-函数及其导数，表达 Jacobi theta 函数对数导数。
• 应用 Eisenstein 系数 $ G_{2k}( au) $，表示 theta 函数指数展开中的系数。
• 使用 zeta-正则化乘积表示，推导出涉及 $ heta( au,z) $、$ heta( au,z+ heta) $ 以及 $ heta $ 和 $ heta' $ 系数级数指数的恒等式。
• 通过向量丛的 Chern 根表达修正的 Witten 亏格，并将其与权为 2、指标为 0 的模形式关联。
• 推导关键恒等式 $ \text{exp}\big(-4\tau^2 G_2(\tau) \theta^2 - \frac{\theta_z}{\theta(\tau,z)} \theta \big) $，将亏格与 Weierstrass 函数及其导数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆亏格能否被推广为任意全纯向量丛的模自动形式函数，而不仅限于 Calabi–Yau 流形？
• RQ2 Jacobi theta 函数如何用 Weierstrass ℘-函数与 Eisenstein 系数表示？
• RQ3 Weierstrass ℘-函数及其导数在 Jacobi theta 函数的指数表示中起什么作用？
• RQ4 向量丛的 Chern 根如何与修正的 Witten 亏格的模结构相互作用？
• RQ5 椭圆亏格的自动形式修正在 Jacobi 形式（权为 2，指标为 0）中的精确模行为是什么？

主要发现

• 修正的 Witten 亏格是任意全纯向量丛在紧致复流形上的双变量自动形式函数。
• 恒等式 $ \theta(\tau,z+\theta) = \theta(\tau,z) \exp\left(-4\tau^2 G_2(\tau) \theta^2 - \frac{\theta_z}{\theta(\tau,z)} \theta \right) $ 成立，将 theta 函数与它的导数及 Eisenstein 系数 $ G_2(\tau) $ 联系起来。
• Weierstrass ℘-函数满足 $ \partial_z^2 \log \theta(\tau,z) = -\wp(\tau,z) + 8\pi^2 G_2(\tau) $，为微分几何与模形式之间提供了联系。
• Jacobi 形式 $ \phi_{-1,1/2} $ 的指数表示为 $ \phi_{-1,1/2}(\tau,z) = \frac{\theta(\tau,z)}{\eta(\tau)^3} = (2\pi i z) \exp\left(-\sum_{k\geq 1} \frac{2(2k)! G_{2k}(\tau)}{(2\pi i z)^{2k}} \right) $，对 $ \tau \in \mathcal{H} $ 和 $ z \in \mathbb{C} $ 成立。
• Weierstrass ℘-函数的 $ n $-阶导数表示为 $ \wp^{(n-2)}(\tau,z) = (-1)^n (n-1)! z^{n+2} \sum_{k\geq 2, 2k\geq n} \frac{(2\pi i)^{2k} G_{2k}(\tau) z^{2k-n}}{(2k-n)!} $，支持该亏格的递归构造。
• 修正的 Witten 亏格为椭圆亏格提供了规范的自动形式修正，使其成为权为 2、指标为 0 的亚纯 Jacobi 形式，在 $ z \in \mathbb{Z}\tau + \mathbb{Z} $ 上具有二阶极点。